ベクトル解析（読み）ベクトルかいせき（英語表記）vector analysis

改訂新版　世界大百科事典

ベクトル解析 (ベクトルかいせき)
vector analysis

ベクトル値関数の微分，積分などに関連する性質を扱うのがベクトル解析である。

ベクトルの微分と積分

例えば一つの質点が三次元空間の中を運動しているとき，その位置を表すベクトル r（x，y，z）は時間tの関数としてr＝r（t）と表される。ベクトル値関数rの変数tに関する微分は，ふつうの実数値関数のときと同様に，

と定義する。も同じように定義すると，はそれぞれ運動する点の時刻tにおける速度ベクトル，加速度ベクトルを表す。ベクトル値関数A（t），B（t）および実数値関数λ（t）があるとき，積λA，スカラー積A・B，ベクトル積A×Bの微分についてはふつうの関数の積の微分の公式と同様に，

が成り立つ。A（t）がa≦t≦bにおいて連続のとき，その積分も実数値関数の場合と同様に定義する。すなわち，区間［a，b］の分割，

　⊿：a＝t₀＜t₁＜t₂＜……＜t_n⁻₁＜t_n＝bに対して，

とし，t_ν⁻₁≦s_ν≦t_νなるs_ν（ν＝1，2，……，n）をとって，

とする。ここでlimはδ⊿→0になるように分割を細かくしていったときの極限である。曲線に沿っての積分（線積分），平面あるいは曲面上での積分（面積分），空間領域における積分（体積分）についても，実数値関数の場合にならって同様に定義される。

スカラー場とベクトル場

三次元空間内の領域Dの各点（x，y，z）にスカラー量φが与えられているとき，φをDで定義されたスカラー場という。またDの各点にベクトル量Fが対応しているとき，FをDで定義されたベクトル場という。例えばDの中で流体が流れているとき，Dの各点において流体の密度ρおよび流速のベクトルvが定まる。ρはスカラー場であり，vはベクトル場である。D内に曲線Cがあるとき，C上の各点でCの線要素ベクトルをdsで，その長さをdsで表し，ベクトル場Fのds方向の成分をF_sで，また一般にFのx，y，z成分をF_x，F_y，F_zで表すことにして，次の線積分を定義する。

Cが閉曲線のとき，をFのCに沿う循環という。D内の曲面Sがあるとき，その面要素をdSと書くことにし，またS上の点における面要素ベクトルdSとは，方向がその点におけるSの法線nの方向で大きさがdSなるベクトルを意味する。S上の点でのベクトル場Fのn成分をF_nと書くことにし，

なる面積分を定義して，これをSを通過するベクトル流vector fluxという。

勾配，発散，回転

スカラー場φ（x，y，z）が与えられたとき，（∂φ/∂x，∂φ/∂y，∂φ/∂z）を成分とするベクトル場をφの勾配，あるいはグラディエントgradientと呼び，∇φ，またはgradφで表す。ベクトル場F＝（F_x，F_y，F_z）に対して，で定義されるスカラー場div FをFの発散といい，またx，y，z方向の単位ベクトルをそれぞれi，j，kとするとき，

で定義されるベクトル場rot F（curl Fとも書く）をFの回転という。これらの演算に対して，rot gradφ＝0，div rot F＝0なる関係が成り立つ。ラプラス演算子Δを，

　Δφ＝∂²φ/∂x²＋∂²φ/∂y²＋∂²φ/∂z²で定義すると，任意のスカラー場φに対してΔφ＝div gradφであり，また任意のベクトル場Fに対してその成分ごとにΔを作用させる演算をΔFと書くことにすると，

　ΔF＝grad div F－rot rot F

なる関係がある。空間内に閉曲線Cを縁（へり）にもつ曲面Sが与えられたとき，

が成立する。これをストークスの定理という。また，閉曲面Sで囲まれた領域Vがあるとき，体積要素をdVと書くことにすると，

が成立する。これをガウスの定理という。Fが流速ベクトルのときは，（1）の左辺はCに沿う循環を表し，（2）の左辺はSを通って単位時間にVから流出する流量である。したがってrot F，div Fはそれぞれ流体の回転，わき出しを表しており，このことが，それぞれFの回転，発散と呼ばれる由来である。rot F＝0のときベクトル場Fは渦なしであるという。このときFは局所的には，スカラー関数φを使ってF＝gradφと表される。φをFのポテンシャルpotentialという。div F＝0なるベクトル場Fはわき出しなし，あるいはソレノイダル（管状）であるという。このときFは局所的には，あるdiv A＝0なるベクトル場Aを使ってF＝rot Aと表される。AをFのベクトルポテンシャルvector potentialという。任意のベクトル場Fは局所的には，

　F＝gradφ＋rot A　　　（divA＝0）　

の形に，渦なしの場gradφとわき出しなしの場rotAとの和に分解される。これをヘルムホルツの定理という。
→ベクトル
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

ベクトル解析
べくとるかいせき
vector analysis

ベクトル場

空間の領域Dの各点P(x,y,z)に対し、関数f(P)=f(x,y,z)が対応するとき、D上のスカラー場fが定義されたという。これに対し、ベクトルの値をとる関数F(P)=(f(P),g(P),h(P))が対応するとき、D上のベクトル場Fが定義されたという（あるいは、DからR³への写像Fが定義されたという）。ベクトル場の連続性、微分可能性は、各成分関数の連続性、微分可能性で定義する。

［洲之内治男］

スカラー場の勾配ベクトル

領域Dにおけるスカラー場f(x,y,z)に対し、

を成分とするベクトルをスカラー場fの勾配ベクトル(こうばいべくとる)といい

で表す。あるいは、x、y、z方向の単位ベクトルをi、j、kとすると、

と表すこともできる。

　ベクトル場F(P)があるスカラー場f(P)により、
　　F(P)=(gradf)(P)
と表されるとき、ベクトル場Fはポテンシャルfをもつといい、fをFのポテンシャルという。

［洲之内治男］

ベクトル場の発散と回転

領域Dで定義されたベクトル場をF(P)=(f(P),g(P),h(P))とするとき、

をつくると、これはスカラー場で、これをFの発散という。また、

をFの回転という。これらの点Pにおける値を(divF)(P),(rotF)(P)のように表す。

　形式的に、成分として微分作用素をもつベクトル

を考え、スカラー場fに対しては

ベクトル場に対しては、内積と外積をつくると、

となる。したがってベクトル計算より、
　　rot(▽f)=▽×(▽f)
　　　　　　　=(▽×▽)f=0
　　div(rotF)=〈▽,▽×F〉=0
などが得られる。

［洲之内治男］

線積分とグリーンの定理

まず二次元の場合を考える。平面上の領域Dの各点(x,y)にベクトル場F(x,y)=(f(x,y),g(x,y))が定義されているとする。D内の滑らかな閉曲線C:C(t)=(x(t),y(t))をとると、Cに沿ってのFの線積分は、

で定義されたが、とくに、CをD内の閉曲線とし、時計と反対回りに向きをつけ、Cの囲む領域をとすると

となる（グリーンの定理）。これを用いると、ベクトル場F(P)=(f(x,y),g(x,y))がD内でポテンシャルをもつことと、次の条件とが同値であることがいえる。

（イ）　P,Q∈Dに対し、Fの線積分はP、Qを結ぶ曲線のとり方に無関係に決まる、

であるということがいえる。よって、
　　F=grad　ならば

となり、微分積分学の基本定理

の拡張になっていることがわかる。

［洲之内治男］

ガウスの定理

Sは滑らかな閉曲面、その囲む領域をGとし、nをS上の単位外法線とする。Gで定義された連続微分可能なベクトル場Fに対し、

が成り立つ。ここのdSは曲面S上の面積分である。

［洲之内治男］

ストークスの定理

図のような曲面の境界線をCとすると、Sの点に対し定義されたベクトル場Fに対し、

ここにtは曲線C上の、正の向きをもった単位接線ベクトルであり、右辺は線積分である。

　ガウスの定理の応用として、たとえば、流体の中に、閉曲面Sをとり、ρを密度、v(x,y,z)を速度とし、F=ρvと置くと、右辺がSから単位時間に流出する量、それがガウスの定理よりG内から吹き出したり、吸い込まれたりした総量に等しいことを示している。よって、div(ρv)がその点の吹き出しや吸い込みの量を表しているといえる。

　前のグリーンの定理と同様に、ストークスの定理を用いると、ベクトル場Fがポテンシャルをもつ必要十分条件は、rotF=0であり、この条件を満足するとき、FのPからQまでの積線分はP、Qを結ぶ曲線に無関係で、F=gradとすると、

　これらの定理は、一般のn次元空間でも成立する。

［洲之内治男］

[参照項目] | 線積分

ベクトル解析（ストークスの定理）〔図〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ベクトル解析
ベクトルかいせき
vector analysis

ベクトル場を扱う数学の一分野。普通は三次元ベクトルを対象とし，和，差，積を使った演算のほかに，微分，積分などを含む。物理学では，流体力学や電磁気学の数学的基礎になっている。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典