平方根（読み）へいほうこん

精選版 日本国語大辞典

へいほう‐こん ヘイハウ‥【平方根】

〘名〙 二乗してａとなるような数のａに対する称。正数ａの平方根は二つあり、それらは絶対値が等しく、符号が反対である。正数ａの正の平方根を√ａ 負の平方根を－√ａと書く。二乗根。〔改正増補和英語林集成（1886）〕

出典　精選版 日本国語大辞典

デジタル大辞泉

へいほう‐こん〔ヘイハウ‐〕【平方根】

2乗してaになるような数のaに対する称。aの平方根は正・負二つあり、正の平方根は、（ルートa）と書く。√は根号とよび、root（根）のrの変形。二乗根。自乗根。

出典　小学館

日本大百科全書(ニッポニカ)

平方根
へいほうこん

数aが与えられたとき、二乗（平方）してaとなる数、つまり、x²＝aとなる数xをaの平方根という。aが正の数のときは、aの平方根は正の数、負の数それぞれ一つずつあり、その絶対値は等しい。そして、正のほうを、と書く。は、ルートaと読む。負のほうは、－で表される。したがって、このとき、aの平方根は、±とまとめられることになる。たとえば、2の平方根は、と－で、±とまとめられる。この場合、記号を、根号（または平方根号）という。0の平方根は0だけである。また、負の数の平方根は、実数でなく、虚数である。たとえば－2の平方根は、iと－iである（iは虚数単位で、のこと）。

　正の整数の平方根について考える。aが平方数、つまり、ある正の整数nの平方の形n²と書かれる数であるときは、はnに等しい（たとえば　＝2）。しかし、aが平方数でないとき、は有理数になることはけっしてなく、無理数になる。つまり、有限小数や分数で表されることはなく、循環しない無限小数になる（たとえば＝1.41421356……）。正方形の一辺の長さを1とすれば、対角線の長さはと表されるが、が無理数であることを古代ギリシア人はすでに知っていた。それは、ユークリッドの『原論』にみられる。

　正の数の平方根について考えているとき、根号はつねに正の数を表す。これが根号の規約である。すると、a＞0のとき＝aであるが、a＜0のときa²＞0であって、＝－aとなる。

　平方根号の中に平方根が含まれることがある。たとえば、

である。このような場合、一般には、二重の平方根号を外すことはできないが、外すことのできる場合がある。a、bが正の整数、が無理数のとき、

となる正の有理数x、yは、a²－bが有理数の平方の形になるときにだけ存在する。たとえば、

では、2²－3＝1＝1²で、

となる。しかし、

の平方根号は、外すことができない。

［三輪辰郎］

平方根の求め方と覚え方

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

平方根 (へいほうこん)
square root

2乗してaとなる数をaの平方根，または2乗根という。

（1）aが正の数のとき，aの平方根は実数で，二つあり，一つは正，もう一つは負で，それらの絶対値は等しい。正の平方根を\(\sqrt{a}\)で表す。

（2）aが0のとき，0の平方根は0である。

（3）aが負の数のとき，aの平方根は二つの純虚数で，と－\(\sqrt{｜a｜}\)i（iは虚数単位，i²＝－1）である。を\(\sqrt{a}\)で表すこともある。

（4）αが0でない複素数のとき，αの平方根は，複素数の範囲で二つあり，その一つがa＋bi（a，bは実数）ならば，他の一つは－（a＋bi）である。

開平

正の数aの平方根を求めることをaを平方に開く，またはaを開平するといい，その計算の方法を開平法という。開平法は，すでにアルキメデスの著書にも見られるが，現在行われている開平法は，16世紀になって見いだされた。この開平法は，平方の公式（x＋y）²＝x²＋2xy＋y²を利用する。すなわち，aを正の数とするとき，

（1）2乗すればaより小で，aに近い正の数b₁をとる。

（2）\(\sqrt{a}\)－b₁＝c＞0とすれば，a＝b₁²＋2b₁c＋c²である。ここでcはb₁に比べて小さいから，c²を無視することにより，となる。

（3）そこでに近く，これより小さい正の数c₁をとる。b₂＝b₁＋c₁とすれば，b₂はb₁よりさらに\(\sqrt{a}\)に近づく。

（4）次に，b₁の代りにb₂を用い，（2），（3）の操作を行いb₃を求める。

（5）以下，（2），（3），（4）を繰り返し，b₄，b₅，……を求めていけば，n回目にb_n＝\(\sqrt{a}\)となるか，nが大きくなるにつれ，b_nは限りなく\(\sqrt{a}\)に近づく。

　例えば，a＝552.25のとき，上の（1）～（5）の操作は，図のように図式的に計算できる。
執筆者：西村 純一

図－開平のしかた

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

平方根
へいほうこん
square root

実数 a に対して，x²＝a を満たす実数 x を a の平方根と呼ぶ。a が正数のとき a の平方根は正数であるものと負数であるものの二つが存在し，このうち正の方を√a で表す。0の平方根は 0である。たとえば，√2＝1.41421356…，√3＝1.7320508075…であり，これらは循環（→循環小数）しない無限小数で表され，無理数となる。a が負数のとき a の平方根は実数の範囲では存在しない。負数の平方根は，考える数の範囲を複素数にまで広げると定義することができる。－1の平方根の一つを i で表し，虚数単位（→虚数）と呼ぶ。複素数についても平方根の概念を次のように拡張できる。0でない複素数 z を極形式で表して，

z＝r（cosθ＋i sinθ）（r＞0，－π＜θ≦π）

とすると，は 2乗すると z になる複素数の一つである。有理数から出発して，その平方根をとる操作および加減乗除（→四則）の操作を繰り返して得られる数は，定規とコンパスで作図することができる数である。たとえば黄金比（→黄金分割）の は，定規とコンパスで作図できる。このことから，正五角形は定規とコンパスで作図できることがわかる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

百科事典マイペディア

平方根【へいほうこん】

２乗してaとなる数をaの平方根または２乗根という。aが０でなければ平方根は二つあり，一方をbとすれば他方は−bとなる。a＞０のとき正の平方根を（式１）と書く。→平方／開平

出典　株式会社平凡社