改訂新版 世界大百科事典 「フーリエ積分」の意味・わかりやすい解説
フーリエ積分 (フーリエせきぶん)
Fourier integral
（－∞，∞）において積分可能な関数f（x）に対して，次の関数F（t）を考える。
この右辺の積分をフーリエ積分といい，左辺の関数F（t）をf（x）のフーリエ変換という。また（1）によるfからFへの変換をもフーリエ変換という。これは有限区間における関数のフーリエ係数を求めることに相当する。有限区間で関数をフーリエ級数に展開することに対応して（－∞，∞）上の関数f（x）を，
のような形に表すことを考える。f（x）が点xの近傍で有界変動ならば，（2）の左辺を1/2｛f（x＋0）＋f（x－0）｝で置き換えた式が成立する。とくにf（x）が実数値ならば（2）は，
となり，これは次の式とも同等である。
（3），（4）をそれぞれフーリエの二重積分定理，単積分定理という。fが（－∞，∞）で2乗可積分のときは，任意のa＞0に対して，
がtについて2乗可積分であって，
なる2乗可積分関数F（t）が存在する。（5）が成り立つとき，
と書きFaがFに平均収束するという（記号l.i.m. はlimit in meanと読む）。このとき（2）は，
の意味で成立する。この事実をプランシュレルの定理という。さらにパーセバルの等式，
が成立する。fとその導関数f′が可積分のとき，fのフーリエ変換をF（t）とすると，f′のフーリエ変換は－itF（t）になる。
すなわち微分演算がフーリエ変換により単に－itを掛けることで置き換えられる。この事実は微分方程式の解法に応用される。
執筆者：伊藤 清三
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報