改訂新版 世界大百科事典 「ユニタリ表現」の意味・わかりやすい解説
ユニタリ表現 (ユニタリひょうげん)
unitary representation
群Gの各元gにあるヒルベルト空間H（≠｛0｝）上のユニタリ作用素Ugが対応し，積を保つ（すなわちUgh＝UgUhである）とき，写像UをGのユニタリ表現という。Gが位相群のときはUは連続であることを条件とする。Hの閉部分空間で各Ugで不変なものがHと｛0｝だけであるとき，Uは既約であるという。Utx＝eixt（x，t∈R）とすれば，t→Utxで定義される写像Uxは実数の加法群Rの既約ユニタリ表現である。R上の関数を調和振動eixtの重ね合せによって表すことが調和解析の目標であるが，ユニタリ表現論は，Rの代りに群Gにおいて同様のことを考えようとするものである。このとき既約ユニタリ表現が調和振動に対応する。したがって，Gの既約ユニタリ表現をすべて求めることおよびG上の関数をそれらによって展開することが主要な目標となる。この理論はC.H.H.ワイルによって有限次元の場合に始められ，のち量子力学との関連で無限次元の場合が研究されるようになり，今日では数学の重要な一分野となった。
執筆者：杉浦 光夫
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報