二次方程式（読み）にじほうていしき（英語表記）quadratic equation

精選版 日本国語大辞典

にじ‐ほうていしき ‥ハウテイシキ【二次方程式】

〘名〙 二次の代数方程式。すなわち、ax²+bx+c=0(a0) という形の方程式。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書（1889）〕

出典　精選版 日本国語大辞典

デジタル大辞泉

にじ‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【二次方程式】

未知数の最高次数が二次である方程式。一般形はax²＋bx＋c＝0（a≠0）で表される。

出典　小学館

改訂新版　世界大百科事典

二次方程式 (にじほうていしき)
quadratic equation

方程式ax²＋bx＋c＝0（a，b，cは定数でa≠0）を二次方程式といい，この方程式を満たすxの値をこの方程式の根，または解という。

　二次式ax²＋bx＋cの因数分解がわかるときには，それから根が求まる。つまりax²＋bx＋c＝（a₁x＋c₁）（a₂x＋c₂）と因数分解されれば，－\(\frac{c1}{a1}\)，－\(\frac{c2}{a2}\)が根である。またαが根である場合には（x－α）でax²＋bx＋cを割ることで因数分解が求まり，したがって，もう一つの根が求まる。a，b，cが整数の場合に，\(\frac{n}{m}\)（既約分数）が根となりうるのは，mがaの約数であり，nがcの約数（負の約数も含める）である場合に限られる。

　D＝b²－4acを上の二次方程式の判別式discriminantという。これを用いると二次方程式の2根は，で与えられる。D≠0のときには，二次方程式は相異なる2根をもち，D＝0のときには上の式で与えられる2根は一致し，2重根となる。上の方程式の2根をα，βとすると（2重根のときにはα＝β），次の根（解）と係数の関係が得られる。

また，このときD＝a²（α－β）²となっている。

　以下，a，b，cが実数のときを考える。このとき，Dは実数だから，D＞0，D＝0，D＜0の三つの場合が考えられ，それぞれの場合に応じて，2根α，βは次のようになる。

　（1）D＞0のときには，

　　α，βは相異なる実数　……（2実根）　

　（2）D＝0のときには，

　　α＝βで実数　……（2重根）　

　（3）D＜0のときには，

　　α，βは相異なる虚数　……（2虚根）　

この三つの場合に，二次関数y＝ax²＋bx＋cのグラフは，それぞれ図のようになっている。

　次にD＞0の場合を考えよう。このとき，α，βは異なる実数だからα＜βと仮定すると，α，βと0の関係として次の三つが考えられる。0＜α＜β（α，βは正），α＜0＜β（αは負，βは正），α＜β＜0（α，βは負）。これらの三つの条件は，根と係数の関係を用いて，係数a，b，cの条件でいいかえることができる。すなわち，次のようになる。

この三つの場合に応じて，y＝ax²＋bx＋cのグラフは図のようになる。
執筆者：斎藤 裕

図－二次方程式

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

二次方程式
にじほうていしき

二次の代数（整）方程式を二次方程式という。一般形はxを未知数として
　　ax²+bx+c=0 (a≠0)
で表される。これは正確にいえば未知数が一つであるから一元二次方程式である。二次方程式ax²+bx+c=0の解法は最初の2項を用いて完全平方式をつくり、開平して解（根(こん)）の公式

が得られる。この公式に現れるb²-4acを方程式の判別式という。実数係数の場合、この判別式が正の値をとるときは二根とも実数（実根）であり、負の値をとるときは複素数（虚根）であり、また判別式の値がゼロのときは二根は等しい（等根または重根）。この場合、係数が複素数でも重根である。根の公式から、二根をα、βとすると、

が得られる（根と係数との関係）。

　四次方程式
　　a(px²+qx+r)²+b(px²+qx+r)+c=0
はかっこ内の二次式をXと置くと、Xについての二次方程式となるから、xの複二次方程式とよばれる。Xについて解き、二根のα、βが得られれば、次に二つの二次方程式
　　px²+qx+r=α, px²+qx+r=β
を解いて、一般に四根を得る。

　未知数x、yについての二元二次方程式を連立して、一般形

の連立二元二次方程式を得る。係数が実数のとき、この解の幾何学的意味は、各方程式はそれぞれ二次曲線（円、楕円(だえん)、放物線、双曲線および二直線）を表すから、二つの二次曲線の交点の座標である。

［竹内芳男］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

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二次方程式【にじほうていしき】

二次関数を０に等しいとおいて得られる方程式。一元二次方程式はax²＋bx＋c＝０（a≠０）。二根は（式１）。→三次方程式／四次方程式
→関連項目ディオファントス｜方程式

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