位相群（読み）いそうぐん（英語表記）topological group

改訂新版　世界大百科事典

位相群 (いそうぐん)
topological group

x，yが正数のとき積xyおよび逆数x⁻¹はまた正数であるから，正数全体の集合は1を単位元として群をつくる。この際，（x，y）をxyにうつす関数およびxをx⁻¹にうつす関数はともに連続である。一般に，群Gが与えられたとき，G×GからGへの写像が（x，y）を積x・yにうつすことにより，またGからGへの写像がxを逆元x⁻¹にうつすことにより得られるが，Gに位相が導入されているときは，これらの写像の連続性が議論できる。群Gが同時に位相空間であって，上の二つの写像がともに連続となるとき，Gを位相群という。簡単な例として，上述の正数の乗法群のほかに，実数の加法群，複素数の加法群，0以外の複素数の乗法群，平面上の1点のまわりの回転群などがある。また，二次の行列でad－bc≠0を満たすもの全体の集合は行列の積に関して群をつくるが，二つの行列が“近い”とはこれら行列の対応する各成分が“近い”ことであるとしてこの群に位相を導入すれば，それは位相群になる。位相群Gの単位元のある近傍がユークリッド空間と同相のとき，Gを局所ユークリッド群locally Euclidean groupという。上述の例はすべて局所ユークリッド群である。〈局所ユークリッド群はつねにリー群であるか〉というヒルベルトの第5問題は1900年に提案されて以来多くの研究者の関心をひいたが，52年ごろモンゴメリーDeane Montgomery（1909-　）や山辺英彦（1923-60）らによって肯定的に解決された。
執筆者：中岡 稔

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

位相群
いそうぐん
topological group

連続性を伴った変換群の議論のために，その群を位相群として特に取上げて議論する。そうした出発から，連続群といわれることもある。群 G が同時に位相空間となっていて，G の単位元を e ，G の2元 x，y の積を xy ，G の元 x の逆元を x^-1 とするとき，次の写像 がともに連続写像であれば，群 G は位相群であるという。すなわち，その写像とは，(1) は積空間　 G×G から G への写像で，G における積 xy をつくる，(2) ψ は G から G への写像で，逆元 x^-1 をつくることである。たとえば，実数または複素数全体の集合は，加法について群をつくるが，これは位相群でもある。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の位相群の言及

【群】より

…また，結晶学における結晶の分類や，量子力学にも応用されている。群に位相を入れた位相群というものもあり，その応用範囲は広い。応用される分野に応じて群があるといえるくらい，重要な群が多くあり，その多くのものはリー群と呼ばれるものに含まれる。…

※「位相群」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」