円周等分多項式（読み）えんしゅうとうぶんたこうしき

日本大百科全書(ニッポニカ)

円周等分多項式
えんしゅうとうぶんたこうしき

多項式xⁿ－1を整数係数の既約因数に分解したとき現れる既約多項式をいう。たとえばx³－1＝(x－1)(x²＋x＋1)の既約因数x－1、x²＋x＋1などを円周等分多項式という。多項式xⁿ－1はn個の複素数
　　cos(2kπ/n)＋isin(2kπ/n)　(k＝1,2,…,n)
を根(こん)にもつが、これらn個の複素数はn乗すると1になり、1のn乗根といわれる。これらを複素平面（ガウス平面）の点で表すと、原点を中心とした単位円の円周を1を起点としてn等分する点になり、それらを次々に直線で結ぶと、単位円に内接する正n角形ができる。これが円周等分多項式という名前のおこりである。たとえば1の3乗根は
　　cos(2kπ/3)＋isin(2kπ/3)
であり、これをk＝1,2,3について計算したもの

をつなぐと図のような正三角形となる。

　1のn乗根のうち
　　ε＝cos(2π/n)＋isin(2π/n)
のべきε¹,ε²,ε³,……を順につくっていくと、n乗して初めて1になる。このようにn乗して初めて1になる複素数を、1の原始n乗根という。たとえば、1の6乗根は、

の六つであるが、

であるから

は原始6乗根ではない。

は6乗して初めて1になるから原始6乗根である。1のn乗根
　　ε^k＝cos(2πk/n)＋isin(2πk/n)
が1の原始n乗根になるための必要十分条件は、kとnが互いに素であることである。1の原始6乗根ε¹、ε⁵は、因数分解
　　x⁶－1＝(x－1)(x＋1)(x²＋x＋1)(x²－x＋1)
の既約因数x²－x＋1の根として求められる。このように、1の原始n乗根は、多項式xⁿ－1を因数分解したときのある既約因数の根である。この多項式を円周n等分多項式という。たとえば、円周六等分多項式はx²－x＋1である。

［菅野恒雄］

[参照項目] | ガウス平面

円周等分多項式〔図〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)