立方根（読み）リッポウコン（英語表記）cubic root

デジタル大辞泉

りっぽう‐こん〔リツパウ‐〕【立方根】

3乗してaになる数のaに対する称。³と表す。例えば、64の立方根は4。三乗根。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

りっぽう‐こん リッパウ‥【立方根】

〘名〙 ある数ａを立方するとｂになるときのａのｂに対する称。ｂの立方根を記号で³√ｂと書く。たとえば、２は８の立方根である。三乗根。〔改正増補和英語林集成（1886）〕

出典　精選版 日本国語大辞典

改訂新版　世界大百科事典

立方根 (りっぽうこん)
cubic root

3乗してaとなる数を，aの立方根，または3乗根という。とくに，aが実数のとき，x³＝aを満たす実根xは，つねにただ一つあり，³\(\sqrt{a}\)で表す。例えば， などである。しかし，平方根の場合とは異なり，与えられた実数aの3乗根を，定規とコンパスを用い作図により求めることは，一般には必ずしも可能ではないことが証明されている。とくに，³\(\sqrt{2}\)（つまり，体積2の立方体の1辺の長さ）を，作図により求める問題は，古代から〈立方倍積問題〉，あるいは〈デロスの問題〉と呼ばれ，三大作図不能問題の一つとして有名である。

　一般の0でない複素数αについて，αの立方根はすべて複素数で3個ある。1の立方根は，

　x³－1＝（x－1）（x²＋x＋1）＝0

により，

を得る。後の二つを1の虚立方根といい，そのいずれか一つをωで表すと，他はω²となり，1＋ω＋ω²＝0を満たしている。さらに，0でない複素数αの立方根の一つをβとすると，αの立方根はβ，βω，βω²の3個である。

開立

実数aの，実数の範囲での立方根を求めることを，aを立方に開く，またはaを開立するといい，その計算の方法を開立法という。開立法は，立方の公式，

　（x＋y）³＝x³＋3x²y＋3xy²＋y³

を利用する。すなわち，aを正の数とするとき，

（1）3乗すればaより小で，aに近い正の数b₁をとる。

（2）³\(\sqrt{a}\)－b₁＝c＞0とすれば，

　a＝b₁³＋3b₁²c＋3b₁c²＋c³

である。ここで，cはb₁に比べて小さいから，3b₁c²＋c³を無視することにより，となる。

（3）そこで，に近く，これより小さい正の数c₁をとる。b₂＝b₁＋c₁とすれば，b₂はb₁より，さらに³\(\sqrt{a}\)に近づく。

（4）次に，b₁の代りにb₂を用い，（2）（3）の操作を行い，b₃を求める。

（5）以下，（2）（3）（4）を繰り返し，b₄，b₅，……を求めていけば，n回目にb_n＝³\(\sqrt{a}\)となるか，nが大きくなるにつれ，b_nは限りなく³\(\sqrt{a}\)に近づく。

　例えば，a＝12977.875のとき，まず小数点を基準にして，3桁ずつにくぎる。

　12・977・875・

（1）これから，aの立方根の整数部分が，2桁であることを知り，b₁＝20としてよいことがわかる。から，c₁＝3。

（3）b₂＝b₁＋c₁＝20＋3＝23。

（4）以下，計算を続ける……。

　しかし，この計算法は煩雑なので，実用には対数表，計算尺，電卓などを用いて計算するほうがよい。
執筆者：西村 純一

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

立方根
りっぽうこん
cubic root

実数 a に対して，x³＝a を満たす実数 x を a の立方根と呼ぶ。このような x は任意の実数 a に対してただ一つ存在し，これを ³√a で表す。複素数の範囲に拡張して考えると z³＝1を満たすような複素数 z は 3個存在し，それらは，
1，，
である。ここで， とおくと， となる。ωとω²はともに 3乗してはじめて 1になる複素数であり，1の原始三乗根と呼ばれる。複素数 1，ω，ω²はガウス平面（複素数平面）において，正三角形の三つの頂点となる。一般に実数 a に対して，z³＝a を満たす複素数は ，， である。古代ギリシアの三大作図問題（→作図）の一つに「与えられた立方体の体積の 2倍の体積をもつ立方体をつくること」があるが，これは定規とコンパスによって立方根を作図できるかという問題になる。定規とコンパスで作図できる数は，有理数から出発して，その平方根をとる操作および加減乗除（→四則）の操作を繰り返して得られる数であることが示されるので，一般には立方根は作図できないことがわかる。

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立方根【りっぽうこん】

３乗してaになる数をaの立方根または３乗根といい，（式１）と書く。実数の立方根は実数のもの一つと複素数のもの二つあり，１の立方根は（式２）。一般にはaの実数の立方根をrとすれば，複素数の立方根はrωとrω²。→立方／開立

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