線形形式（読み）せんけいけいしき（英語表記）linear form

改訂新版　世界大百科事典

線形形式 (せんけいけいしき)
linear form

体K上の線形空間VからKへの線形写像のことを線形形式，または一次形式という。Vが有限次元のとき，Vの基底e₁，……，e_nを取る。fが線形形式ならば，f（e_i）＝α_i∈Kであり，Vの元x＝x₁e₁＋……＋x_ne_nについて，f（x）＝x₁f（e₁）＋……＋x_nf（e_n）＝α₁x₁＋……＋α_nx_nとなる。したがって，fはK上のn変数一次斉次式で表される。この考えを一般化して，K上の線形空間V₁，……，V_rの直積V₁×……×V_rからKへの写像fで，各iについて，f（a₁，……，a_i-1，αa_i＋βb_i，a_i+1，……，a_r）＝αf（a₁，……，a_i-1，a_i，a_i+1，……，a_n）＋βf（a₁，……，a_i-1，a_i，a_i+1，……，a_n）が成立するものを多重線形形式という。特にr＝2を双一次形式という。上と同様にV₁，……，V_rの基底を固定すれば，fは｛x_ij｜1≦i≦r，1≦j≦n_i＝dim V_i｝を変数とする多項式F（……，x_ij，……）であって，各iごとにについて一次斉次のもので表される。V上の線形形式f，gとKの元α，βについて，（αf＋βg）（x）＝αf（x）＋βg（x）で定義すれば，αf＋βgも線形形式である。この演算でV上の線形形式全体V^*はK上の線形空間になる。Vが有限次元ならば，V^*もそうで，dim V＝dim V^*となる。V^*はVの双対空間と呼ばれる。これらの概念は環の上の加群にも一般化されるが，その場合はだいぶ複雑になる。
執筆者：丸山 正樹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」