改訂新版 世界大百科事典 「解の公式」の意味・わかりやすい解説
解の公式 (かいのこうしき)
formula for solutions
いくつかの型の方程式または連立方程式には，その解を与える公式があり，そのような公式を解の公式と呼ぶ。その中には，いくつかの型の微分方程式に関するものがある。また連立一次方程式についてのクラメールの公式も解の公式の一例である。その他の重要な場合は代数方程式の場合であるので，それについて述べる。この場合は根の公式とも呼ばれる。
（1）二次方程式aX2＋bX＋c＝0（a≠0）の根は，
D＝b2－4acを判別式discriminantという。D＝0のときは2根が一致（重根）のときである。a，b，cがいずれも実数であるとき，この二次方程式が実根をもつのはD≧0のときであるので，判別式の正負によって根の実，虚が判別できる。a，b，cがいずれも有理数であるとき，根が有理数となるのはDが有理数の平方のときである。二次方程式がaX2＋2bX＋c＝0の形のときは，根は，
で与えられる。このときb2－ac（＝1/4D）が上のDと同じ役をする。
（2）三次方程式aX3＋bX2＋cX＋d＝0（a≠0）はX＝Y－（b/3a）とおけば，Y3＋3pY＋q＝0と変形する。ただし，
この新しい三次方程式の根は，
である。ただし，ωは1の虚立方根，
の一つ，α，βは，
である（カルダノの解法）。－（q2＋4p3）は（新，旧，両三次方程式の）判別式と呼ばれる。この判別式をDとすると，
（Ⅰ） D＝0ならば，重根がある。
（Ⅱ） a，b，c，dが実数のときには，
D＞0 相異なる三つの実根をもつ。
D＝0 一つ重根をもち，根はすべて
実根。
D＜0 実根はただ一つ。
（3）三次方程式X3＋3pX＋q＝0（p，q:実数，p≠0）の，三角関数を利用した公式がある。判別式D＝－（q2＋4p3）をとる。
（Ⅰ） D＞0のときは，当然p＜0であり，
とおけば，3根は，
（Ⅱ） D＜0，p＜0のときは，θ， φを，
によって定めれば，実根は，
虚根は，
（Ⅲ） D＜0，p＞0のときは，θ，φを，
によって定めれば，実根は，
虚根は，
（Ⅳ） D＝0のとき，単根は，
重根は，
（4）四次方程式X4＋aX3＋bX2＋cX＋d＝0（a≠0）については，X＝Y－（b/4a）とおけば，
Y4＋pY2＋qY＋r＝0 ……（1）
の形に変形できる。この方程式に対して，
T3－pT2－4rT＋（4pr－q2）＝0 ……（2）
の一つの根tをとれば，（1）の根は，次の二つの二次方程式の根として得られる（フェラリの解法）。
また，
……（3）
の3根をu2，v2，w2とすると，（1）の根は，
u＋v＋w，u－v－w，
－u＋v－w，－u－v－w
である（オイラーの解法）。
（5）五次以上については（2）（4）のような公式はない。特別な形をしているためにやさしく解けるものはある。
例 a0Xn＋a1Xn⁻1＋……＋an＝0（a0≠0）
において，ai＝an-1（i＝0，1，2，……，n）であるとき，これを相反方程式という。
（Ⅰ） nが奇数ならば－1が一つの根である。
（Ⅱ） nが偶数ならばt＝x＋x⁻1とおいてtについてのn/2次方程式に帰着できる。なお，Xn－1＝0の根は，
とおけば，ρ，ρ2，……，ρn⁻1，ρn＝1であるが，この方程式を代数的に解くことは可能ではあるが，一般にはたいへんめんどうである。やさしい例をあげると，
執筆者：永田 雅宜
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報