超準解析（読み）ちょうじゅんかいせき（英語表記）nonstandard analysis

改訂新版　世界大百科事典

超準解析 (ちょうじゅんかいせき)
nonstandard analysis

超準解析は17，18世紀の無限小演算をそのまま合理化すると同時に，数学のほとんどあらゆる領域に適用できる新しい方法である。G.W.ライプニッツとその学派にあっては，関数f（x）の微分商dy/dxは無限小量dy＝f（x＋dx）－f（x）を無限小量dxで割った商である。この考えかたと記号法によって微積分学はおおいに発展したが，無限小量の実在性については当初から疑問がもたれ，これを合理化しようとする試みはすべて失敗した。19世紀になってA.L.コーシーがイプシロン-デルタ（ε-δ）論法を発明し，これによってK.ワイヤーシュトラスが微積分学の基礎を確立する。すなわち，無限小量は追放され，極限概念は〈任意の正数εに対してかくかくの性質をもつ正数δが存在する〉という述語論理式によって表現される。それからほぼ100年後，数学基礎論の中からモデル理論が生まれる。モデルとは形式的な理論を解釈する枠組みであるが，一定の条件を満たす理論には標準的でないモデルが存在する。これを超準モデルnonstandard modelという。1960年ころ，ロビンソンA.Robinsonは実数体Rの超準モデルR^＊を考えて無限小（および無限大）超実数を導入し，ライプニッツ流の無限小演算を合理化することに初めて成功した。これが超準解析の始まりである。この理論によると，形式的な命題であってRについて成り立つことはすべてR^＊についても成り立つ。有限な超実数（R^＊の元）はただ一つの実数に無限に近い（差が無限小）。この実数をもとの超実数の標準部分という。δxを0でない無限小を動く変数とする。関数y＝f（x）が連続なのは，δy＝f（x＋δx）－f（x）が無限小のときである。fが微分可能なためには，商δy/δxの振幅が無限小であることが必要十分である。このとき，δy/δxの共通の標準部分が微分係数f′（x）にほかならない。こうして，微積分がライプニッツのスタイルそのままに合理化され，再現される。新しい無限小解析はもちろんイプシロン-デルタ式の理論と同値であるが，直接的かつ直観的である点に大きな利点がある。実際，新しい方式で初等微積分を教える試みも，とくにアメリカで盛んである。

　超準解析を展開するのにつごうのよいモデルは広大モデルenlargementと称する超準モデルである。このモデルの中では，P（x，y）が二つの実数x，yに関する性質であり，任意の有限個の実数x₁，x₂，……，x_nに対してP（x_i，y）（1≦i≦n）が成り立つような実数yが存在するとき，適当な超実数yをとると，すべての実数xに対してP（x，y）が成り立つ（共起性の原理）。P（x，y）としてx＜yをとることにより，無限大超実数の存在が示される。また実数全部を含む超実数の超有限集合が存在する。この性質は確率論の超準的取扱いで基本的な役割を果たす。すなわち，集合上の測度として定義される確率は，超有限集合の元の個数をかぞえる組合せ的確率によって無限に近似される。とくにローブP.Loebの発明したメカニズムは，標準確率と超有限確率との間を自由に往復することを可能にした。現在，この方法によって確率論の再編成および新理論の建設が大きな成果をあげている。広大モデルはある種の超フィルターによる超積を作ることによっても得られる。これは通常の数学の内部にある概念であり，ある意味ではわかりやすい。1965年に，アクスJ.AxとコチェンS.Kochenはこのやりかたで長年未解決の問題であった局所体上のn元d次形式に関するE.アルティンの予想を解いた。

　モデル理論を使う上述のやりかたでは全数学を一挙に超準化することはできない。ネルソンE.NelsonとフルバチェックK.Hrbacekは，1977年ころ通常の集合論（ツェルメロ=フレンケル理論）に新しい述語または定項（標準集合の全体および内的集合の全体）を加え，いくつかの公理（共起性の原理を含む）を追加して超準集合論を作り出した。この理論は現存の数学をすべて含み，また超準解析をも展開しうるつごうのよい理論である。しかも，通常の集合論が矛盾を含まなければ，超準集合論も矛盾を含まない。この理論では実数体Rはすでに無限小を含んでいる。現実の時空世界の数学的表象として，いままではもっぱら標準的な実数がその役割を果たしてきたが，いまや無限小を含む新しい実数がこれにかわることができる。このことは，自然の数学的認識および記述の枠組みに影響を与える可能性がある。
→数学基礎論
執筆者：斎藤 正彦

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」