高次方程式(読み)こうじほうていしき(英語表記)equation of higher degree

精選版 日本国語大辞典 「高次方程式」の意味・読み・例文・類語

こうじ‐ほうていしき カウジハウテイシキ【高次方程式】

〘名〙 次数が高い代数方程式通常、三次以上のものをいう。

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デジタル大辞泉 「高次方程式」の意味・読み・例文・類語

こうじ‐ほうていしき〔カウジハウテイシキ〕【高次方程式】

未知数次数の高い方程式。ふつう、三次以上の方程式をいう。

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改訂新版 世界大百科事典 「高次方程式」の意味・わかりやすい解説

高次方程式 (こうじほうていしき)
equation of higher degree

初等代数学では通常三次以上の代数方程式を高次方程式と呼ぶ。n次代数方程式はn個の根をもつ。四次以下の方程式はその係数から四則演算と根号n√ ̄を使うことによって根を求めることができる。五次以上の一般の方程式は,四則演算と根号を使うだけではその係数から根を求めることはできない。しかし,特別な形をした五次以上の方程式には,四則演算と根号を使って解くことができるものがある。ガロア理論によれば,方程式のガロア群が可解群であることが四則演算と根号を使って解くことができるための必要十分条件である。

 2x4+5x3+7x2+5x+2=0のように,n次方程式Fx)=a0xna1xn1a2xn2+……+an-1xan=0の係数の間に,aian-ii=0,1,2,……,n)なる関係があるとき,この方程式を相反方程式と呼ぶ。n奇数であれば,x=-1はFx)の根であり,Fx)=(x+1)Gx)と因数分解でき,Gx)=0も相反方程式である。そこで次数nが偶数2mの相反方程式Fx)=0を考えよう。Fx)=0の両辺xmで割ってtx+1/xとおいて整理すると,m次方程式Gt)=b0tmb1tm1+……+bm=0が得られる。b0a0b1a1ma0b2a2-(m-1)a1mm-1)a0のように係数bia0,……,aiを使って書き表すことができる。Gt)=0の根をt1t2,……,tmとし,x+1/xti,すなわちx2tix+1=0の根をsi1si2とすると,Fx)=0の根はsi1si2i=1,2,……,m)である。したがってGt)=0の根がわかればFx)=0の根も求めることができる。
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