ラプラス変換（読み）ラプラスへんかん（英語表記）Laplace transform

改訂新版　世界大百科事典

ラプラス変換 (ラプラスへんかん)
Laplace transform

f（t）が区間（0，∞）で定義された関数であって，有限個の点を除いて連続であり，任意の有界な区間で有界変動であるとする。sを複素数として，積分，

を考えると，次のような定数σが定まる。

σ＜∞のとき，半平面Re s＞σにおいて正則な関数，

が定義される。この関数Fをfのラプラス変換という。関数の対応fFもラプラス変換と呼ばれる。積分（1）が収束しても，積分，

が収束するとは限らない。Re s＝c（c＞σ，c＞0）において（2）が絶対収束するとき，F（s）からf（t）を求める反転公式，

が成立する。ただし（3）の積分は，複素平面上の直線Re s＝cの上でIm sの増加する向きに積分することを意味し，またfの不連続点aおよび0ではfを次のように修正する。

f，gが（0，∞）で定義されているとき，

で定義される関数hをfとgのたたみ込み（または合成積）といい，f＊gで表す。f，g，f＊gのラプラス変換をそれぞれF，G，Hとするとき，fとgに対する（2）の積分が収束すればF（s）G（s）＝H（s）が成り立つ。

　ラプラス変換の例としていくつかあげる。fのラプラス変換がFであることをfFと書くことにすると，

である。
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

ラプラス変換
らぷらすへんかん
Laplace transformation

正の実数で定義された関数f(x)のラプラス変換は、s=σ+iωに対し、

で定義される。したがって、ラプラス変換はx≧0のときe^-σxf(x)、x＜0のとき恒等的に0になるような関数のフーリエ変換とも考えることができる。

　ラプラス変換の性質として、

などがあげられる。

　ラプラス変換はヘビサイドの演算子法の正当性を証明したものとして電気工学では広く使われ、f(x)と［f］(s)の表がつくられている。その使い方を例で示す。

　を解け。

　ラプラス変換をとり、前記の性質（ii）を用いると

　より、

よって、この逆変換を求めればよい。

［洲之内治男］

[参照項目] | 演算子法 | フーリエ変換

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

法則の辞典

ラプラス変換【Laplace transform】

f（x）が区間[0，∞）で定義された関数で，任意有限区間で積分可能な場合，複素数 p について

が存在するならば，これを f（x）のラプラス積分という．関数 F（p）を f（x）のラプラス変換という．&Lmathcal; ｛f（x） ｝と表すこともある．

出典　朝倉書店