漸化式（読み）ゼンカシキ（英語表記）recurrence formula

デジタル大辞泉

ぜんか‐しき〔ゼンクワ‐〕【漸化式】

数列のいくつかの項の間に成り立つ関係式。例えば、公差dの等差数列ではa_n＋1＝a_n＋dとなるなど。

出典　小学館

改訂新版　世界大百科事典

漸化式 (ぜんかしき)
recurrence formula

a_n＝a_n-1＋a_n-2のように，数列または関数列a₁，a₂，a₃，……，a_n，a_n+1，……において，a_k（k≦n－1）のいくつかを使ってa_nを導く規則を与える式を漸化式という。漸化式はr変数の有理関数F（x₁，……，x_r）と最初のr個の項a₁，……，a_rとを使って，a_n+1＝F（a_n，a_n-1，……，a_n-r+1）（n＝r，r＋1，r＋2，……）と表される場合が多い。例えば漸化式a_n＝a_n-1＋bは初項a₁，公差がbの等差数列を与え，漸化式a_n＝ra_n-1は初項a₁，公比がrの等比数列を与える。応用上はF（x₁，……，x_r）は一次式であることが多い。特別な場合として漸化式a_n+2＝pa_n+1＋qa_nを考えると，この漸化式は行列を使って，と書き表せる。したがって，である。二次方程式x²－px－q＝0の2根をα，βとおくと，根と係数の関係を使って，α≠βのときは，

であることがわかり，

である。したがって，

　a_n+2＝（αⁿ＋αⁿ⁻¹β＋αⁿ⁻²β²＋……＋βⁿ）

　　a₂－q（αⁿ⁻¹＋αⁿ⁻²β＋……＋βⁿ⁻²）a₁

であることがわかる。この最後の結果はα＝βのときも成立する。関数列の漸化式は不定積分の計算で出てくることが多い。例えば，はI₁＝tan⁻¹xであり，I_n（n≧2）は漸化式，で定まる。
執筆者：上野 健爾

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

漸化式
ぜんかしき
recurrence formula

数列または関数列 S_i(i＝1，2，3，…，n，…) があるとき，S_i(i≦n) のいくつかを用いて，S_n+1 を表わす公式のことをいう。たとえば，公差が a の等差数列では S_n+1＝S_n＋a ，また公比が r の等比数列では S_n+1＝rS_n ，また，積分
では

I_n＝{－ sin ^n-1x・ cos x＋(n－1)I_n-2}/n

などの漸化式が与えられる。一種の差分方程式でもある。

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世界大百科事典（旧版）内の漸化式の言及

【漸近式】より

…領域Dで定義された関数f(x)とDの境界点aに対して，となる関数g(x)が存在するとき，g(x)をxがaに近づくときのf(x)の漸近式という。これをf(x)～g(x)と表すことにする。x→＋∞のときのガンマ関数，の漸近式を与えるスターリングの公式，はこの例である。漸近式は数列に関しても使われることがある。数列｛a_n｝に対して，となる数列｛b_n｝が存在するとき，｛a_n｝と｛b_n｝は漸近的に等しいという。…

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出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」