改訂新版 世界大百科事典 「全微分」の意味・わかりやすい解説
全微分 (ぜんびぶん)
total differential
2変数の関数z=f(x,y)が点(x,y)において偏微分可能であって,
f(x+h,y+k)-f(x,y)=hf(x,y)+kfy(x,y)+εy(h,k)
とおくとき,εy(h,k)/(|h|+|k|)→0(|h|+|k|→0)となるならば,f(x,y)は(x,y)において全微分可能であるといい,
dz=f(x,y)dx+fy(x,y)dy
と書いて,これをz=f(x,y)の(x,y)における全微分という。f(x,y)が偏微分可能でも全微分可能とは限らないが,偏微分可能でかつ偏導関数の一方が連続な点では,全微分可能であることが示される。
f(x,y)が全微分可能であって,f(x,y),fy(x,y)も全微分可能ならば,fy=fyとなる。このときzの第2階全微分が,
d2z=d(dz)=(fdx+fydy)dx+(fdx+fydy)ydy=fdx2+2fydxdy+fyydy2
によって定義される。一般にz=f(x,y)の第m-1階までの偏導関数が全微分可能なとき,zの第m階全微分は,によって定義される。ここでfに対する偏微分演算は上式のを二項定理で形式的に展開したものを施したものと解する。
一般のn変数の関数z=f(x1,x2,……,xn)の第m階全微分も,上と同様に考えて,と定義する。
→偏微分
執筆者:伊藤 清三
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報