双対（読み）そうつい（英語表記）dual

改訂新版　世界大百科事典

双対 (そうつい)
dual

数学の理論において，いくつかの概念を二つずつ対応させるとき，定理が1対となって，そのおのおのは同じ構造をもつことがときどき起こる。この現象を双対性といい，対応する概念や定理を互いに他の双対という。例えば，平面射影幾何学で，“点”という概念と“直線”という概念を，“含む”という概念と“含まれる”という概念を対応させるとき，双対性がみられる。具体例をあげれば，〈3点A，B，Cが直線lに含まれ，3点A′，B′，C′が直線l′に含まれているとき，BとC′を含む直線およびB′とCを含む直線の両方に含まれる点をP，CとA′を含む直線およびC′とAを含む直線の両方に含まれる点をQ，AとB′を含む直線およびA′とBを含む直線の両方に含まれる点をRとすれば，点P，Q，Rは共通の1直線に含まれる〉（図1）というパップスの定理の双対は，〈3直線a，b，cが点Lを含み，3直線a′，b′，c′が点L′を含んでいるとき，bとc′に含まれる点およびb′とcに含まれる点の両方を含む直線をp，cとa′に含まれる点およびc′とaに含まれる点の両方を含む直線をq，aとb′に含まれる点およびa′とbに含まれる点の両方を含む直線をrとすれば，直線p，q，rは共通の1点を含む〉（図2）という定理となる。
執筆者：中岡 稔

図－双対

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

世界大百科事典（旧版）内の双対の言及

【数】より

…2は1に1を加えたものには違いないが，一方で2は対として1組という性格ももっている。さまざまな言語，とくに古代語の名詞において，単数，複数のほかに双数または両数dualという形をもつものがあり，多くはしだいに複数形に吸収されてしまうが，これらは単に1足す1としての2ではなく，〈対〉としての2が起源ではなかったかと考えられる。対となるものは私たちのまわりにはいくらでもある。…

【順序関係】より

…　⊵が一つの順序であるとき，関係を，ab⇔b⊵aと定めると，も順序になる。これをもとの順序の双対(順序)という。この意味で，大きいという概念と小さいという概念は双対的である。…

【束】より

…一つの束Lにおいて，新しい演算∪，∩を，　a∪b＝(もとの演算でのa∩b)　a∩b＝(もとの演算でのa∪b)と定めると，やはり束になる。このように∪と∩とをとりかえた束を，もとの束の双対という。すべての束について成り立つ等式があれば，その式の∪と∩とをとりかえた等式も正しい。…

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出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」