精選版 日本国語大辞典 「記号論理学」の意味・読み・例文・類語
きごう‐ろんりがく キガウ‥【記号論理学】
出典 精選版 日本国語大辞典精選版 日本国語大辞典について 情報
出典 精選版 日本国語大辞典精選版 日本国語大辞典について 情報
数理論理学ともいう。命題や論理概念を記号で表し、推論を式の変形という形式的な法則に還元して論理学を組織する一分科である。19世紀後半にG・ブールらの論理代数が現れ、フレーゲによって現代の記号論理学の基礎が築かれた。B・A・W・ラッセルはこれを大きく発展させ、『プリンキピア・マテマティカ』Principia Mathematica(1910)に集大成し、記号論理学の方法を確立した。
[西村敏男]
「雪は白い」「3<aかつa<8」、あるいは「nを任意の自然数とするとき、n<mとなるような自然数mが存在する」のように、ある一つの主張をしているものが命題である。3、a、8などは命題が扱う対象で、「雪である」「白い」「<」「自然数である」などは、対象のもつ性質を表し、述語とか命題関数といわれる。「かつ」「任意の」「存在する」は命題を合成する論理概念である。記号論理学ではこれらのものをすべて記号で表す。対象には定数と変数があり、それぞれ1、2など、あるいはx、yなどの記号を用いる。これらの記号を総称して項とよぶことにする。命題を合成する論理概念を表す記号(論理記号という)としては、いろいろの流儀のものがあるが、ここでは~(否定)、「∧」(論理積)、「∨」(論理和)、(含意)、「∀」(全称記号)、「∃」(存在記号)を用いる。~A、A∧B、A∨B、A⇒Bをそれぞれ「Aでない」「AかつB」「AあるいはB」「AならばB」と読む。また∀xF、∃xFはそれぞれ「すべてのxについてFが成り立つ」「Fが成り立つようなxが存在する」と読む。∀と∃を総称して限定記号とか束縛記号ともいう。さらに、論理記号を含まない原始命題や述語を表す記号を用いる。述語にはN(x)のように項を一つしか含まないものや、x<yの「<」のように、二つの項を含むものなどがある。一般に、n個の項を、含む述語をn項述語という。原始命題はゼロ項述語とも考えられる。命題を記号で表したものを論理式といい、次のように定義する。(1)原始命題記号は論理式である。R( ,…, )がn項述語で、t1,…, tnが項であれば、R(t1,…, tn)は論理式である。これらを素論理式という。(2)AとBが論理式であれば、~A、A∨B、A∧B、A⇒Bもまた論理式である。(3)Fが論理式であり、このなかには、変数xを伴った∀x、∃xは含まれていないとする。このとき、∀xF、∃xFは論理式である。このように、∀や∃を伴って現れる変数を束縛変数、そうでない変数を自由変数という。
[西村敏男]
数学の証明などで通常使われる論理を二値論理といい、命題(論理式)は「真」(1で表す)か「偽」(0で表す)のいずれか一方の値をとるものと考える。命題の「真」「偽」の値をその真理値という。
[西村敏男]
記号論理のうちで、論理記号~、<、>、⇒だけに着目して研究する範囲を命題論理とよび、限定記号∀と∃をも含めた一般の場合を述語論理という。命題論理では次の諸式が成り立つ。「=」は、式のなかのA、B、Cに1と0のいかなる値を入れても、つねに左辺と右辺が等しい値をもつという意味である。
(1)A∨~A=1(排中律), A∨0=A
(2)A∨A=A(吸収律)
(3)A∨B=B∨A(交換律)
(4)(A∨B)∨C=A∨(B∨C)(結合律)
(5)A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)(分配律)
(6)~(A∨B)=~A∧~B(ド・モルガンの法則)
(1)′A∧~A=0(矛盾律), A∧1=A
(2)′A∧A=A
(3)′A∧B=B∧A
(4)′(A∧B)∧C=A∧(B∧C)
(5)′A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)
(6)′~(A∧B)=~A∨~B
(1)′~(6)′は、(1)~(6)の∧、∨、1、0をそれぞれ∨、∧、0、1に一斉に置き換えたものである。これを双対の原理(そうついのげんり)という。∧、∨、~をそれぞれブール代数の「積」「和」「補元」の演算とし、1、0をそれぞれ最大元、最小元にとれば、命題論理の論理式の全体がブール代数をなすことがわかる。また、これらの式を用いて論理式を変形すれば、論理式は、~と∧、あるいは~と∨、あるいは~と⇒のみを含むものに変形できる。また、A|B(シェーファーの棒という)を~(A∧B)のこととすると、A|Bだけで他の論理記号がすべて定義できる。A∨~Aは、Aが1でも0でも値1をもつ。論理式は、そこに含まれる素論理式に任意に値1、0を与えるとつねに値1をもつとき、その論理式は「恒等的に真」な論理式、あるいは同語反復(トートロジー)という。命題論理では、論理式が恒等的に真であるかどうかを確かめる方法がある。述語論理の論理式∀xFと∃xFの間には、
~∀xF=∃x~F, ~∃xF=∀x~F
という関係がある。したがって、~と∀を用いれば∃を、~と∃を用いれば∀を定義することができる。述語論理の論理式∀x(F∨~F)は恒等的に真であるが、述語論理の任意の論理式に対して、それが恒等的に真であるかどうかを確かめるような一般的な方法はない。
[西村敏男]
記号論理を公理的に展開することもできる。公理と推論の選び方にはいろいろのものがあるが、その一つとしてまず、次の公理を与える。
(1)(A⇒B)⇒((B⇒C)⇒(A⇒C))
(2)(~A⇒A)⇒A
(3)A⇒(~A⇒B)
ここでA、B、Cは任意の論理式である。
(4)xがAのなかに含まれない変数のとき、
∀x(A⇒B)(A⇒∀xB)
(5)∀xA⇒A′
ここでA′は、Aに現れる変数xをすべて、Aのなかに束縛変数として含まれていない変数、あるいは定数yで置き換えて得られる論理式である。
推論規則として、次の二つを与える。
(1)AとA|BからBを得る(三段論法)。
(2)xを変数とするとき、Aから∀xAを得る。公理(1)、(2)、(3)と推論規則(1)だけからなるものが命題論理で、全体からなるものが述語論理である。論理式Aが証明されるというのは、公理から推論規則を次々と適用してAが得られることである。述語論理の体系では、証明される論理式はすべて恒等的に真であり、Aと~Aがともに証明されるような論理式Aは存在しない。これを無矛盾という。また、恒等的に真な論理式はかならず証明できる。これを完全性という。述語論理の体系は無矛盾でかつ完全である。したがって、命題論理でも述語論理でも、論理式が恒等的に真であることと、その論理式が証明できることは同じ意味である。任意の論理式Aが証明できるかどうかを確かめる一般的方法を与えることを決定問題という。命題論理では決定問題は肯定的に解けるが、述語論理では否定的に解ける。
いままで述べてきたのは、命題は「真」か「偽」かの値をとり、排中律(真と偽以外の値はない)の成り立つものである。これを古典論理ともいう。古典論理の対象領域を、「集合」「集合の集合」……にまで広げた記号論理もある。これを高階の述語論理という。また、排中律を認めない「直観主義の数学」に用いられる論法を記号化した直観主義論理の研究もある。また、真偽のほかに、第三の値を真理値としてもつ三値論理、より多くの真理値をもつ多値論理の研究もある。さらに、可能性、必然性を表す様相命題を記号論理のなかで表現するための論理演算をもつ様相論理なども研究されている。
[西村敏男]
『前原昭二著『記号論理入門』(1967・日本評論社)』▽『松本和夫著『数理論理学』(1971・共立出版)』
出典 株式会社平凡社百科事典マイペディアについて 情報
出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報
出典 株式会社平凡社世界大百科事典 第2版について 情報
…もちろんそこでは,人間の知識がこの人工言語で完全に表現されるにちがいない,ということが前提されているのである。記号論理学【坂井 秀寿】
【論理学の歴史】
[ヨーロッパ]
ヨーロッパ論理学の歴史は古代,中世,近世,近・現代に4分される。(1)古代――古代論理学は前4世紀にアリストテレスが著した《オルガノン》で始まる。…
※「記号論理学」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典|株式会社平凡社世界大百科事典 第2版について | 情報
送り状。船荷証券,海上保険証券などとともに重要な船積み書類の一つで,売買契約の条件を履行したことを売主が買主に証明した書類。取引貨物の明細書ならびに計算書で,手形金額,保険価額算定の基礎となり,輸入貨...
9/11 日本大百科全書(ニッポニカ)を更新