指数定理（読み）しすうていり

世界大百科事典（旧版）内の指数定理の言及

【モース理論】より

…ふつうにはこのとき，標高aの等高線f^－1(a)と標高bのそれf^－1(b)とは，aとbとの間にfの極値，すなわち山頂，谷，鞍点がまったく現れなければ，位相的には同じ形をしており，また逆に，極値が現れて，形が崩れる場合は，崩れ方が極値の状態(それが山であったか谷か鞍か)によって支配されていることもわかる。この事実を一般の微分可能多様体Xと，その上の微分可能な関数fに対して拡張したものがモースの指数定理であり，モースの理論の骨子をなすものである。すなわち，非退化なfの極値を，0からXの次元までの整数(これを指数という)によって分類し，各指数の極値が現れるときの等高線f^－1(a)の形の崩れ方を，位相幾何学的な方法によって表現したものが，指数定理にほかならない。…

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出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」