プログレッシブ和英中辞典(第4版)の解説
つつしんで【謹んで】
謹んでおわび申し上げます
I humbly beg your pardon.
お母様のご逝去を謹んでお悔やみ申し上げます
Please accept my 「deepest sympathy [sincere condolences] on your mother's death.
ご成功を謹んでお祝い申し上げます
「Let me [Allow me to] congratulate you most heartily on your success.（▼allow meのほうが改まった表現）
昨日の新聞の誤りを謹んで訂正いたします
With apologies, we would like to correct a mistake in yesterday's paper.