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角の3等分 かくの3とうぶん/かくのさんとうぶんtrisection of an angle

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知恵蔵の解説

角の3等分

平面上の図形が定規とコンパスだけで作図できるとき、(定規とコンパスで)作図可能という。定規には目盛りがついておらず直線を引く機能のみを有し、コンパスは円を描く機能のみを有するとする。(1)任意の角を3等分すること、(2)任意の立方体の体積の2倍に等しい立方体の1辺の長さを求めること、(3)任意の円と等しい面積を持つ正方形を作図すること、これらをギリシャの3大作図不可能問題という。作図不可能性は、(1)、(2)については1837年ワンツェル(P.-L.Wantzel)によって、(3)は1882年リンデマン(C.L.F.Lindemann)によって証明された。(1)、(2)は有理数を係数とする既約3次方程式の解が作図できないことから、(3)は円周率が超越数であることから示される。例えば、30度の3等分は作図できない。特別な角、例えば直角の場合には、対応する3次方程式が有理数の範囲で因数分解され、そのため作図可能となる。角の3等分は、定規に2カ所目盛りをつければ作図可能となることが知られている。正p角形(pは奇素数)は、pが2のべき乗プラス1の形の時に限り作図可能となる。例えば、3、5、17角形などは作図可能であり、7、11、13角形などは作図不可能。

(桂利行 東京大学大学院教授 / 2008年)

出典|(株)朝日新聞出版発行「知恵蔵」
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