ホモロジー群（読み）ホモロジーぐん（英語表記）homology group

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ホモロジー群
ホモロジーぐん
homology group

K を一つの単体複体とし，その r 次元鎖 C^r＝Σg_ix_i^r に対して，その境界を r－1 次元鎖 ∂C^r＝Σg_i(∂x_i^r) であると定義する。ただし，有向単体 x^r＝(A₀，A₁，…，A_r) に対しては，∂x^r＝Σ(－1)^j(A₀，A₁，…，A_j-1，A_j+1，…，A_r) であるとする。特に鎖 Z^r に対して ∂Z^r＝0 であれば，Z^r は輪体またはサイクルと呼ばれる。一般に ∂(∂C^r) であるから，C^r の境界 ∂C^r は必ず輪体であるが，これを境界輪体という。 r 次元鎖 Z^r が境界輪体であるとき，すなわち，ある鎖 C^r+1 が存在して ∂C^r+1＝Z^r となるとき，Z^r は0にホモローグであるといって，Z^r～0 で表わす。また2つの輪体 Z₁^r と Z₂^r に対して，Z₁^r－Z₂^r～0 であるとき，Z₁^r と Z₂^r はホモローグであるといって，Z₁^r～Z₂^r で表わす。 r 次元輪体全体の集合 Z_r(K) と境界輪体全体の集合 B_r(K) は，それぞれアーベル群となり，B_r(K) は Z_r(K) の部分群であるから，その剰余群 H_r(K)＝B_r(K) をつくって，これを K の r 次元ホモロジー群，またはベッチ群という。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典