一次独立(読み)いちじどくりつ(英語表記)linearly independent

改訂新版 世界大百科事典 「一次独立」の意味・わかりやすい解説

一次独立 (いちじどくりつ)
linearly independent

空間のベクトルa1,a2,a3が同一平面上にないとき,α1a1+α2a2+α3a3=0(αi:実数)ならば,α1=α2=α3=0となる。一般にある空間のn個のベクトルa1,……,anについて,α1a1+α2a2+……+αnan=0(αi:実数)ならば必ずα1=α2=……=αn=0となるとき,a1,……,anは一次独立であるという。n=1ならa1≠0ということであり,n=2ならa1とa2が同一直線上にないということである。この概念を一般化して,線形空間Vの元x1,……,xnについて,一次独立をα1x1+……+αnxn=0(αi:スカラー,α1=……=αn=0)で定義する。x1,……,xnが一次独立でないとき,一次従属linearly dependentであるという。Vの元y1,……,ymがあって,Vの任意の元xy1,……,ymの一次結合で書ける,すなわちx=β1y1+……+βmymと表せるとき,Vは有限次元であるといい,さらにy1,……,ymが一次独立であるとき,それらをV基底basisと呼ぶ。基底は必ず存在し,その数mは基底の選び方によらず一定である。このmVの次元という。Vが有限次元でないとき,V無限次元であるといい,同じように基底の存在がいえる。このときも基底の集合としての濃度は基底の選び方にかかわらず一定である。
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日本大百科全書(ニッポニカ) 「一次独立」の意味・わかりやすい解説

一次独立
いちじどくりつ

いくつかのベクトルについて、それらの相互関係を述べるのに用いられる数学用語。一般にn個のベクトルa1、a2、……、anに対して
  「l1a1+l2a2+……+lnan=0となるようなl1、l2、……、lnはl1=l2=……=ln=0しかない」
というとき、a1、a2、……、anは一次独立、あるいは線形独立であるという。たとえば、ベクトルは、3点P、Q、Rが同一直線上になければ一次独立である。また、は、4点P、Q、R、Sが同一平面上になければ一次独立である。a1、a2、……、anが一次独立であるということは、
  「このなかのどの一つも、残りn-1個のベクトルを用いて、それらの“実数倍の和の形”に表されない」
ということと同義である。a1、a2、……、anが一次独立でないとき、a1、a2、……、anは一次従属あるいは線形従属であるといわれる。

[寺田文行]

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百科事典マイペディア 「一次独立」の意味・わかりやすい解説

一次独立【いちじどくりつ】

n個のベクトルe1,e2,……,e(/n)がスカラーc1,c2,……,c(/n)について c1e1+c2e2+……+c(/n)e(/n)=0となるのはc1=c2=……=c(/n)=0のときに限るならば,これらのベクトルは一次独立であるという。そうでないときは一次従属であるという。n次元空間では一次独立なn個のベクトルの組があり,n+1個以上のベクトルは必ず一次従属である。
→関連項目次元(数学)

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