ベータ関数(読み)べーたかんすう

日本大百科全書(ニッポニカ) 「ベータ関数」の意味・わかりやすい解説

ベータ関数
べーたかんすう

ガンマ関数との関連で、オイラーによって導入された関数。ベータ関数をΒ(p,q)で表すと、Β(p,q)はp>0,q>0のとき、次式で定義される。


ベータ関数は、ガンマ関数との、次の関係によって重要である。

  Γ(p)Γ(q)=Γ(p+q)Β(p,q)
 この関係を利用すると

は、次のように計算することができる。すなわち、この積分はm=2p-1,n=2q-1としてみれば、

となる。たとえば、半径rのn次元球の体積は、

で与えられる。

[竹之内脩]

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