線形群（読み）せんけいぐん（その他表記）linear group

改訂新版　世界大百科事典

線形群 (せんけいぐん)
linear group

複素数体C上のn次正方行列で，行列式が0でないものの集合をGL（n，C）で表す。GL（n，C）は｛A｜AはC上のn次正方行列で，逆行列をもつもの｝と一致するから，行列の乗法によって群になる。これをC上のn次一般線形群という。GL（n，C）の部分群を線形群と呼ぶ。すべての有限群は線形群と同型である。SL（n，C）＝｛A∈GL（n，C）｜detA＝1｝，SL（n，Z）＝｛A∈SL（n，C）｜Aの要素はすべて整数｝なども線形群である。｛X_ij｜1≦i≦n，1≦j≦n｝を変数とする C上の多項式f₁（……，X_ij，……），……，f_n（……，X_ij，……）があって，G＝｛A∈GL（n，C）｜A＝（a_ij）とすると，f₁（……，a_ij，……）＝……＝f_n（……，a_ij，……）＝0｝がGL（n，C）の部分群になっているとき，Gは線形代数群であるという。例えば，上記のSL（n，C）は線形代数群であり，T＝｛A∈GL（n，C）｜A＝（a_ij），i≠jならばa_ij＝0｝もそうである。一般に，群Gから，GL（n，C）への群の準同型をGのn次の表現と呼ぶ。群の表現は群論においてたいへん重要なものである。同様なことが一般の体K上の行列の場合にも考えられている。
執筆者：丸山 正樹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」