改訂新版 世界大百科事典 「線形群」の意味・わかりやすい解説
線形群 (せんけいぐん)
linear group
複素数体C上のn次正方行列で，行列式が0でないものの集合をGL（n，C）で表す。GL（n，C）は｛A｜AはC上のn次正方行列で，逆行列をもつもの｝と一致するから，行列の乗法によって群になる。これをC上のn次一般線形群という。GL（n，C）の部分群を線形群と呼ぶ。すべての有限群は線形群と同型である。SL（n，C）＝｛A∈GL（n，C）｜detA＝1｝，SL（n，Z）＝｛A∈SL（n，C）｜Aの要素はすべて整数｝なども線形群である。｛Xij｜1≦i≦n，1≦j≦n｝を変数とする C上の多項式f1（……，Xij，……），……，fn（……，Xij，……）があって，G＝｛A∈GL（n，C）｜A＝（aij）とすると，f1（……，aij，……）＝……＝fn（……，aij，……）＝0｝がGL（n，C）の部分群になっているとき，Gは線形代数群であるという。例えば，上記のSL（n，C）は線形代数群であり，T＝｛A∈GL（n，C）｜A＝（aij），i≠jならばaij＝0｝もそうである。一般に，群Gから，GL（n，C）への群の準同型をGのn次の表現と呼ぶ。群の表現は群論においてたいへん重要なものである。同様なことが一般の体K上の行列の場合にも考えられている。
執筆者：丸山 正樹
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報