エルミート形式（読み）エルミートけいしき（その他表記）Hermitian form

改訂新版　世界大百科事典

エルミート形式 (エルミートけいしき)
Hermitian form

複素数αに対して，αの複素共役をᾱで表すことにする（α＝a＋biならばᾱ＝a－bi）。ā_ij＝a_ji（1≦i，j≦n）をみたすn²個の数a_ijに対し，複素変数x₁，x₂，……，x_nの式，をエルミート形式という。H（x）は任意のx₁，x₂，……，x_nに対し実数値をとる。a_ijを（i，j）成分とするn次正方行列とし，これをAと記す。n次正方行列Xに対して，Xの各成分の複素共役をとった行列Xの転置行列^tXをX^＊で表すものとすると，条件ā_ji＝a_jiは，A＝A^＊と表される。このような行列をエルミート行列Hermitian matrixという。行列Aの階数rをHの階数という。UU^＊＝E_n（E_nは単位行列）をみたすn次正方行列をユニタリ行列unitary matrixという。適当なユニタリ行列による線形変換（ユニタリ変換）を行うと，正の実数α_iが存在して，

となる。このp，qはUの取り方にかかわらずに定まり，またp＋q＝rとなる。（p，q）をHの符号数という。（p，q）＝（n，0）（または（0，n））のとき，正（または負）の定符号形式といい，それ以外のとき，不定符号形式という。
執筆者：斎藤 裕

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」