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代数的閉体 だいすうてきへいたいalgebraically closed field

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

代数的閉体
だいすうてきへいたい
algebraically closed field

K の元を係数にもつ任意の代数方程式 f(x)=a0xna1xn-1+…+an-1xan=0 が,その次数に等しい n 個の根をもち,それらがすべて K に属するとき,このような体 K を代数的閉体という。また f(x)=0 が K に属する n 個の根をもつということは,f(x) が K において1次因数に完全に分解されるということであるから,体 K の元を係数にもつあらゆる多項式 f(x) が K において1次因数に分解されるとき,K を代数的閉体ということもできる。任意の体 K' は常に代数的閉体 K にまで拡大できるが,このことは E.シュタイニッツ (1871~1928) によって示された。たとえば,有理数体や実数体は代数的閉体でないが,それらの拡大体である複素数体は代数的閉体である。

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世界大百科事典内の代数的閉体の言及

【体】より

… 他方,元の数が有限の斜体は必ず可換体であることが知られている。
[代数的閉体]
 複素数体のように,代数拡大体は自身に限るような体を代数的閉体という。体Kが代数的閉体であるための条件は,K上の1変数の多項式xnc1xn-1+……+cn(n≧1)は必ずKの元α1,……,αnによってと一次因子の積に因数分解することである。…

※「代数的閉体」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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