代数的閉体（読み）だいすうてきへいたい（その他表記）algebraically closed field

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

代数的閉体
だいすうてきへいたい
algebraically closed field

体 K の元を係数にもつ任意の代数方程式 f(x)＝a₀xⁿ＋a₁x^n-1＋…＋a_n-1x＋a_n＝0 が，その次数に等しい n 個の根をもち，それらがすべて K に属するとき，このような体 K を代数的閉体という。また f(x)＝0 が K に属する n 個の根をもつということは，f(x) が K において1次因数に完全に分解されるということであるから，体 K の元を係数にもつあらゆる多項式 f(x) が K において1次因数に分解されるとき，K を代数的閉体ということもできる。任意の体 K' は常に代数的閉体 K にまで拡大できるが，このことは E.シュタイニッツ (1871～1928) によって示された。たとえば，有理数体や実数体は代数的閉体でないが，それらの拡大体である複素数体は代数的閉体である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の代数的閉体の言及

【体】より

…　他方，元の数が有限の斜体は必ず可換体であることが知られている。
［代数的閉体］
　複素数体のように，代数拡大体は自身に限るような体を代数的閉体という。体Kが代数的閉体であるための条件は，K上の1変数の多項式xⁿ＋c₁x^n－1＋……＋c_n(n≧1)は必ずKの元α₁，……，α_nによってと一次因子の積に因数分解することである。…

※「代数的閉体」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」