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代数方程式 だいすうほうていしき algebraic equation

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

代数方程式
だいすうほうていしき
algebraic equation

ある方程式がその未知数に関して,代数式 (有理式あるいは無理式) だけから成っているとき,その方程式を代数方程式という。代数方程式は代数的な変形,すなわち加法,減法,乗法,除法,開法による変形によって,常に a0xna1xn-1+…+an-1xan=0 という形に書くことができるが,この方程式の根には,もとの方程式の根が必ず含まれているので,そのなかから適当な根を選んで,もとの方程式の根を求めることができる。

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デジタル大辞泉の解説

だいすう‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【代数方程式】

式がすべて代数式でできている方程式

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世界大百科事典 第2版の解説

だいすうほうていしき【代数方程式 algebraic equation】

多項式f(x)=a0xna1xn-1+……+anに対して,f(x)=0とおいたものを代数方程式という。多項式f(x)の次数がnのとき,n次代数方程式という。n次多項式f(x)は複素数の範囲内でf(x)=a0(x-α1)(x-α2)……(x-αn)と因数分解できる(代数学の基本定理)。α1,α2,……,αnf(x)=0の根という。f(x)=0の根αがα1,α2,……,αnのうちにm回現れるとき,mをαの重複度といい,m=1であればαは単根,m≧2であればαは重根であるという。

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大辞林 第三版の解説

だいすうほうていしき【代数方程式】

未知数に関する多項式のみからなる、一般には連立の方程式。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

代数方程式
だいすうほうていしき

未知数x、y、z、……を含む方程式を
  f(x,y,z,……)=0
の形で書くとき、この左辺の式が代数式(有理式あるいは無理式)である方程式を代数方程式という。[足立恒雄]

二項方程式

Xm-a=0の形の方程式を二項方程式という。その解の一つをmまたはa1/mで表す。aが正実数のときにはmは正実数とするのが普通である。[足立恒雄]

三次方程式

三次方程式
 a0X3+a1X2+a2X+a3=0
 (a0≠0)
を解くには、まず変数変換x=y-a1/3a0により
 X3+3pX+q=0…………〔1〕
の形に変形する。次に

と置くと、〔1〕の解は
  α1/31/3,
  ωα1/32β1/3,
  ω2α1/3+ωβ1/3
で与えられる。ここにωは(-1+)/2である。この公式をカルダーノの公式という。四次方程式は三次方程式に還元して解かれる。その解の公式をフェラリの公式という。[足立恒雄]

代数学の基本定理

複素数体上のn次代数方程式(複素数は実数である場合を含めていう。以下同様)とは
 f(x)=a0Xn+a1Xn-1+……
   +an-1X+an=0……〔2〕
   (a0(≠0),a1,……
   ,anは複素数)
という形の方程式である。〔2〕の左辺の多項式はかならず
 f(x)=a0(X-α1)……(X-αn)
 (α1,……,αnは複素数)
と一次式の積に分解できる。すなわちn次代数方程式は重複度も考慮すればn個の解を有する。これはガウスによって証明された定理で、古典代数学の基本定理とよばれる。この性質、すなわち、複素係数の代数方程式はかならず複素数解をもつという性質を、複素数体は代数的に閉じていると言い表す。たとえば有理係数の代数方程式でも、かならずしも有理数解をもつとは限らないから、有理数体は代数的に閉じていない。こういう意味から、古典代数学の基本定理は複素数体の完全性を表す一つの定理であることがわかる。[足立恒雄]

五次以上の方程式

四次までの代数方程式はべき根を用いて、つまり、二項方程式を繰り返し解いて解を求めることができた。この性質を、四次以下の代数方程式は代数的に解けるという。
 19世紀初頭、アーベルは、五次以上の代数方程式は一般には代数的に解けないことを証明した。続いてガロアは、群の概念を導入して代数方程式が代数的に解ける必要十分条件を求めた。これが群論の始まりである。[足立恒雄]

多元代数方程式

未知数の個数が一より多い場合は、代数方程式は平面図形や空間図形、さらには高次元図形としての意味をもつ。たとえば
 x2+y2-1=0
は円を表す。幾何学的な立場から代数方程式を研究するのが代数幾何学であり、この分野は近年著しい発達を遂げている。[足立恒雄]

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世界大百科事典内の代数方程式の言及

【数学記号】より

…これはヨーロッパ大陸ではあまり普及せず,アメリカ,イギリスで利用された。
[代数方程式]
 ギリシアのディオファントスは方程式の未知数xとして,数を意味するギリシア語ριθμοからを取って使った。x2,x3については,平方,立方を意味する語の頭文字Δ,Kの肩にΥをつけてΔΥKΥを利用した。…

【数値解析】より

…数値解析の具体的な課題としては,問題の近似解を数値的に求めること,その近似解の性質,有効な数値計算の手順,真の値と近似解との理論的な差,丸めの誤差などの評価などである。以下では,数値解析の中の典型的な分野である,(1)行列の理論を含んだ線形代数の諸問題,(2)非線形方程式,とくに代数方程式の解法,(3)常微分方程式や熱方程式などの取扱いなどについて,考え方の例をみることにする。このほか数値積分補間法などに現れる計算も重要な数値解析の話題になっている。…

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