思い競う（読み）おもいきおう

精選版 日本国語大辞典

おもい‐きお・うおもひきほふ【思競】

1. 〘 自動詞 ハ行四段活用 〙 互いに負けまいと思う。
   1. [初出の実例]「『我もいかで、人よりさきに、深き心ざしを御覧ぜられん』とのみ思ひきをふ男女につけて」(出典：源氏物語（1001‐14頃）蓬生)

出典　精選版 日本国語大辞典