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二次形式 にじけいしき quadratic form

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世界大百科事典 第2版の解説

にじけいしき【二次形式 quadratic form】

x12+4x1x2x22x12+2x1x2+2x2x1x22のように,いくつかの変数x1,x2,……,xnの多項式で,すべての項が二次の項だけからなるものをx1,x2,……,xnについての二次形式という。二次形式は対称行列(StSを満たす行列。ここでtSSの転置行列)を用いて,と表される。上の例では,である。QのことをSで決まる二次形式という。以下,(x1,……,xn)=xと略記することにする。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

二次形式
にじけいしき

二変数の二次同次式ax2+bxy+cy2を二変数の二次形式という。形式は行列を用いて

と表せる。同様に

という二次の同次式をn変数の二次形式という。ただしaij=ajiと決めておく。
  A=(aij)
によってn次行列Aをつくれば、Aは対称行列である。

とすると、Q[x]は
  Q[X]=txAx
と表示できる。Uをn次行列として
  x=Uy
という変換をすれば、二次形式は
  ty(tUAU)y
と変換される。とくにAが実対称行列のとき、すなわちaijが実数のときには、正則行列UをtUAUが対角行列であるようにとれる。すなわち、適当な変数変換によって二次形式は
  a1x12+……+anxn2
という標準形に変換できる。このa1、……、anは並べ方を除けばもとの二次形式だけによって定まり、変数変換の仕方によらない。a1、……、anがすべて正のとき正値形式、すべて負のとき負値形式という。[足立恒雄]

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