二次形式（読み）にじけいしき

日本大百科全書(ニッポニカ)

二次形式
にじけいしき

二変数の二次同次式ax²+bxy+cy²を二変数の二次形式という。形式は行列を用いて

と表せる。同様に

という二次の同次式をn変数の二次形式という。ただしa_ij=a_jiと決めておく。

　　A=(a_ij)
によってn次行列Aをつくれば、Aは対称行列である。

とすると、Q［x］は
　　Q［X］=^txAx
と表示できる。Uをn次行列として
　　x=Uy
という変換をすれば、二次形式は
　　^ty(^tUAU)y
と変換される。とくにAが実対称行列のとき、すなわちa_ijが実数のときには、正則行列Uを^tUAUが対角行列であるようにとれる。すなわち、適当な変数変換によって二次形式は
　　a₁x₁²+……+a_nx_n²
という標準形に変換できる。このa₁、……、a_nは並べ方を除けばもとの二次形式だけによって定まり、変数変換の仕方によらない。a₁、……、a_nがすべて正のとき正値形式、すべて負のとき負値形式という。

［足立恒雄］

[参照項目] | 行列

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)