生成元（読み）せいせいげん（英語表記）generator

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

生成元
せいせいげん
generator

代数系を生成する要素，特に群の場合に使われる。群 G の部分集合を S とする。G の元 a，b の積を ab で表す。ここで一つの元 a について a が m 個の積を a^m と書き，これを a のべき（冪または巾とも書く）という。また（a^-1）^m＝a^-m，a⁰＝e（単位元）とする。S の任意の元 a₁，a₂，…，a_r の任意のべきの積 a₁^m₁a₂^m₂…a_r^m_r（m₁，m₂，…，m_r は整数）として表される G の元全体を〈S〉で表せば，〈S〉は G の部分群となる。特に〈S〉＝G となるとき，G は S で生成されるといい，S の元を G の生成元という。G がアーベル群のときは，積を和の形で書くと，〈S〉は m₁a₁＋m₂a₂＋…＋m_ra_r の形で表される G の元全体として定義される。特に S がただ一つの元 a からなる集合｛a｝であれば，〈S〉は a^m（m は整数）の形に書ける G の元全体からなる巡回群となる。このとき，巡回群〈S〉の生成元は a である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典