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巡回群 じゅんかいぐんcyclic group

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

巡回群
じゅんかいぐん
cyclic group

G の1つの元 a のべきを次のように定義する。 anaa・…・a   ( n 個の因子) ,a0e (単位元) ,a-n=(a-1)n 。そうすると,任意の整数 mn に対しては,amanam+n および (am)namn が成り立つ。それゆえ H={an} ( n =0,±1,±2,…) は G の部分群となり,しかも可換群である。この Ha によって生成された巡回群といい,a をその生成元という。もし ae のとき ane となる正の整数 n が存在すれば,このような最小の整数 na の位数という。元 a の位数が無限のとき,mn であれば aman であり,巡回群 H の位数も無限である。また a の位数が r であれば H の位数も r である。群 G の各元の位数は,G の位数の約数に等しく,またある群 G が巡回群であるための必要十分条件は,G に含まれる元の位数が,G 自身の位数に等しいことである。

出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報

世界大百科事典内の巡回群の言及

【可換群】より

…加法に関して可換群をなすものを,加群または加法群と呼ぶ。可換群の他の例としては,群Gの一つの元aで生成された群A(これを巡回群という。乗法の場合は,A={ann=0,±1,±2,……}),群Gの中心(Gのどの元とも可換な元全体)などがある。…

【群】より

…この例Hは,3と5を含む最小の部分群であるという意味で,3と5とで生成された部分群であるといい,〈3,5〉で表すことが多い。一つの元aで生成される群〈a〉={ann=0,±1,±2,……}を,aで生成された巡回群という。一般に,群Gの部分群Kが与えられたとき,a,bGにより,Ka={kakK}とKb={kbkK}とに共通元があれば,KaKbである。…

※「巡回群」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典|株式会社日立ソリューションズ・クリエイト世界大百科事典 第2版について | 情報

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