巡回群（読み）じゅんかいぐん（英語表記）cyclic group

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

巡回群
じゅんかいぐん
cyclic group

群 G の1つの元 a のべきを次のように定義する。 aⁿ＝a・a・…・a 　 ( n 個の因子) ，a₀＝e (単位元) ，a^-n＝(a^-1)ⁿ 。そうすると，任意の整数 m ，n に対しては，a^m・aⁿ＝a^m+n および (a^m)ⁿ＝a^mn が成り立つ。それゆえ H＝{aⁿ} ( n ＝0，±1，±2，…) は G の部分群となり，しかも可換群である。この H を a によって生成された巡回群といい，a をその生成元という。もし a ≠ e のとき aⁿ＝e となる正の整数 n が存在すれば，このような最小の整数 n を a の位数という。元 a の位数が無限のとき，m≠n であれば a^m≠aⁿ であり，巡回群 H の位数も無限である。また a の位数が r であれば H の位数も r である。群 G の各元の位数は，G の位数の約数に等しく，またある群 G が巡回群であるための必要十分条件は，G に含まれる元の位数が，G 自身の位数に等しいことである。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の巡回群の言及

【可換群】より

…加法に関して可換群をなすものを，加群または加法群と呼ぶ。可換群の他の例としては，群Gの一つの元aで生成された群A(これを巡回群という。乗法の場合は，A＝｛aⁿ｜n＝0，±1，±2，……｝)，群Gの中心(Gのどの元とも可換な元全体)などがある。…

【群】より

…この例Hは，3と5を含む最小の部分群であるという意味で，3と5とで生成された部分群であるといい，〈3,5〉で表すことが多い。一つの元aで生成される群〈a〉＝｛aⁿ｜n＝0，±1，±2，……｝を，aで生成された巡回群という。一般に，群Gの部分群Kが与えられたとき，a,b∈Gにより，Ka＝｛ka｜k∈K｝とKb＝｛kb｜k∈K｝とに共通元があれば，Ka＝Kbである。…

※「巡回群」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」