随伴微分作用素(読み)ずいはんびぶんさようそ(英語表記)adjoint differential operator

改訂新版 世界大百科事典 「随伴微分作用素」の意味・わかりやすい解説

随伴微分作用素 (ずいはんびぶんさようそ)
adjoint differential operator

区間ab)においてr回連続微分可能な関数の全体をCrと書く。関数uCrに作用する微分作用素

においてpkCkk=0,1,……,r)とする。これに対して,vCrに作用する微分作用素,

を考えると,uvCrであってabの近くではuvの少なくとも一方が恒等的に0となるならば,部分積分により,

が成立する。このような関係にある微分作用素D′をDの随伴微分作用素という。このとき(D′)′=Dであることも部分積分によってわかる。多変数の偏微分作用素についても同様である。n次元の領域Ωにおいてr回連続微分可能な関数の全体をCrとし,uC2に対して,

なる偏微分作用素Aを考える。ただしaijC2aiC1とし,a0は連続関数とする。このとき,

とすると,uvC2であってΩ境界の近くではuvの少なくとも一方が恒等的に0ならば,部分積分によって(3)と同様な式,

が成立する。すなわちA′はAの随伴微分作用素である。この場合も1変数の場合と同様に(A′)′=Aなることが部分積分でわかる。とくに,についてはΔ′=Δである。
微分作用素
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出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報

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