頤を落とす（読み）おとがいをおとす

精選版 日本国語大辞典

おとがい【頤】 を 落(お)とす

1. 大いに笑う。あごをはずす。
   1. [初出の実例]「そのたわけに頷(オトガヒ)を落(ヲトシ)、〈略〉腹をかかへて出る雲津具ども、日に幾人といふ数を知らず」(出典：談義本・風流志道軒伝（1763）序)

出典　精選版 日本国語大辞典