ユニタリー行列(読み)ゆにたりーぎょうれつ(英語表記)unitary matrix

日本大百科全書(ニッポニカ) 「ユニタリー行列」の意味・わかりやすい解説

ユニタリー行列
ゆにたりーぎょうれつ
unitary matrix

n次複素正方行列A=(aij)に対し、Ā=(āij)の転置行列tĀ=tij)を*Aで表し、Aの随伴行列という。ここでāijは複素数aij共役複素数である。とくにAが正則で、Aの逆行列A-1*Aと等しいとき、つまり、
(1)A・*A=*A・A=E(Eはn次単位行列)
のとき、Aをユニタリー行列という。

 Aがユニタリー行列なら、次の(2)から(5)までが成り立つ。

(2)n次列ベクトル全体の線型空間Cnの線型変換TA:Cn∋x→Ax∈Cnは内積を不変にする。つまり、(Ax,Ay)=(x,y)  (x,y∈Cn)
(3)TAはベクトルの長さを不変にする。つまり
  ‖Ax‖=‖x‖  (x∈Cn)
(4)Aの列ベクトルは正規直交系である。つまり、A=(a1,……,an)とすると、

(5)tAの列ベクトルは正規直交系である。

 逆に(2)から(5)のどれか一つが満たされればAはユニタリー行列である。また、実ユニタリー行列は、直交行列にほかならない。このように、ユニタリー行列、直交行列は、ともにベクトルの内積・長さと密接に関係するので、線型代数で非常に重要である。

[菅野恒雄]

出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

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