二次形式(読み)にじけいしき

日本大百科全書(ニッポニカ) 「二次形式」の意味・わかりやすい解説

二次形式
にじけいしき

二変数の二次同次式ax2+bxy+cy2を二変数の二次形式という。形式は行列を用いて

と表せる。同様に

という二次の同次式をn変数の二次形式という。ただしaij=ajiと決めておく。

  A=(aij)
によってn次行列Aをつくれば、Aは対称行列である。


とすると、Q[x]は
  Q[X]=txAx
と表示できる。Uをn次行列として
  x=Uy
という変換をすれば、二次形式は
  ty(tUAU)y
と変換される。とくにAが実対称行列のとき、すなわちaij実数のときには、正則行列UをtUAUが対角行列であるようにとれる。すなわち、適当な変数変換によって二次形式は
  a1x12+……+anxn2
という標準形に変換できる。このa1、……、anは並べ方を除けばもとの二次形式だけによって定まり、変数変換の仕方によらない。a1、……、anがすべて正のとき正値形式、すべて負のとき負値形式という。

[足立恒雄]

出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

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