マルチンゲール（その他表記）martingale

改訂新版　世界大百科事典

マルチンゲール
martingale

数学用語。公平な賭（かけ）という考えから導入された概念で，1950年ころから組織的に研究され，確率論の重要な一分野になっている。確率空間（Ω，，P）上の増大情報系_n（n＝0，1，……）に対し，確率変数列X_n（n＝0，1，……）が次の3条件，（Ⅰ）X_nは_n-可測，（Ⅱ）E｜X_n｜＜∞，（Ⅲ）E（X_n+1/_n）＝X_nをみたすとき，マルチンゲールという。とくに（Ⅲ）はマルチンゲール性と呼ばれ，これにより，E（X_n）はnに無関係になる。次の定理は有用である。

収束定理

ならば，X_nは概収束する。

ドゥーブの任意抽出定理

有界な停止時間の増大列τ₀≦τ₁≦……，に対し，（n＝0，1，2，……）は，増大情報系に関するマルチンゲールとなる。例えば，（1）可積分なXに対し，_nに関する条件つき平均値の列X_n＝E（X/_n）（n≧0）はマルチンゲールである。（2）ξ_n（n≧0）は平均値0の独立確率変数列で各ξ_nが_n-可測のとき部分和はマルチンゲールになる。

　（Ⅲ）のE（X_n+1/_n）＝X_nにおいて等号＝が≧に弱められたとき，劣マルチンゲール，≦のときは優マルチンゲールと呼ばれる。連続時間変数X_t（t≧0）の場合も同様に定義される。
執筆者：西尾 真喜子

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」