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アーベルの定理 アーベルのていりAbel's theorem

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

アーベルの定理
アーベルのていり
Abel's theorem

数多くあるアーベル定理といわれるもののうち,次の諸定理がよく知られている。 (1) 一般の n 次方程式は,n≦4 の場合は代数的に,すなわち四則計算と開法の5演算を有限回施して解けるが,n≧5 の場合は,代数的に解けない (ルフィニ=アーベルの定理) 。 (2) べき級数 Σanxn は,(a) 変数 x のすべての値に対して収束するか,(b) x の0以外のすべての値に対し発散するか,(c) ある正の数 R があって,|x|<R では絶対収束,|x|>R では発散するかのいずれかである。この R が収束半径であって,収束範囲内の有界閉区間では,収束は一様である。 (3) 関係 f(x) を表わすべき級数が b で収束しその和が s なら,xb のとき f(x) は s収束する。

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