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収束半径 しゅうそくはんけいradius of convergence

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

収束半径
しゅうそくはんけい
radius of convergence

z を変数とするべき級数
zz0 で収束すれば,P は |z|<|z0| であるすべての z について収束する。このような値 |z0| の上界 ζ を収束半径といい,円周 ρ=|z| または円の内部 ρ>|z| を収束円という。このとき P は ρ<|z| なる z について発散する。 ρ=+∞ のとき P は任意の z について収束し,ρ=0 のときには z=0 以外のすべての z について発散する。収束半径はコーシー=アダマールの定理により
で与えられる。

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世界大百科事典 第2版の解説

しゅうそくはんけい【収束半径 convergence radius】

a0,a1,a2,……を複素数の定数,zを複素数の変数とするとき,の形の級数をべき級数という。べき級数P(z)がzz0で収束すれば|z|<|z0|なるすべてのzに対して絶対収束する。このような|z0|の上限をRとすると,P(z)は|z|<Rなるすべてのzで絶対収束し,|z|>Rなるすべてのzで発散する。このようなRをべき級数P(z)の収束半径という。P(z)がz=0以外で発散するときはR=0とする。

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世界大百科事典内の収束半径の言及

【べき級数(冪級数)】より

… 微積分学ではc,an,zが実数に限られたものを扱うが,そのときも,zは複素数に拡張して考えたほうが利点が多い。 与えられたべき級数において,それが収束するようなzに対する|zc|の上限ρを収束半径といい,円|zc|=ρを収束円という。次の公式(コーシー=アダマールの公式Cauchy‐Hadamard’s formula)がある。…

※「収束半径」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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