ニュートンの近似法(読み)ニュートンのきんじほう(英語表記)Newton's method of approximation

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ニュートンの近似法
ニュートンのきんじほう
Newton's method of approximation

方程式 f(x)=0 の根αが計算によっては求められないとする。しかし,αの1つの近似 x0 を知れば,この x0 よりも精度の高いαの近似値 x1 は,式 x1x0f(x0)/f'(x0) で与えられる。この式を「ニュートンの近似式」といい,このようにして,方程式の近似解の精度を,微分法を用いて高める方法を,ニュートンの近似法という。 x0 を第1次近似,x1 を第2次近似という。この公式は,次のような理由に基づいてつくられている。もし x0f(x)=0 の1つの近似解であれば,それは根そのものではないから f(x0)≠0 である。これを y0f(x0) とおく。 x0 をよりαに近づけるためには,y0 をより0に近づけなければならない。そのための方法として,点 (x0y0) に接線 yy0f'(x0)(xx0) を引き,接線と x 軸との交点 x1 を求めるのである。すなわち xx1y=0 として,x1x0y0/f'(x0) 。ここで y0f(x0) に置き換えれば,先のニュートンの近似式が得られる。この操作を次々に繰返していけば,いくらでも α に近い x2x3,…が得られる。これらを第3近似値,第 4 近似値,…という。

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