近似式(読み)きんじしき(英語表記)approximate expression

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

近似式
きんじしき
approximate expression

関数 f(x) の値の近似値を求めるために使われる計算に便利な式を,一般に f(x) の近似式という。関数 f(x) が微分可能で,f'(x) が連続ならば,xa に近い値,たとえば xah のときの関数 f(x) の値は,式 f(x)≒f(a)+f'(a)(xa) によって近似できる。この式が関数 f(x) の近似式である。たとえば,h>0 が1に比べて十分に小さいとき,(1+h)n の近似式は,(1+h)n≒1+nh である。一般に f(x) が n+1 回微分可能ならば,マクローリン展開が近似式になる。しかしこれらは展開中心の近傍でしか有用でない。広い範囲にわたる場合には,区間 [ab] において,n 次多項式 p(x) のうち,差の最大値 を最少にするというようなミニマックス近似,あるいは最良近似を使うのが普通である。

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世界大百科事典 第2版の解説

きんじしき【近似式 approximate expression】

関数のを計算する場合,正確な値を求める代りに,必要な精度をもつ関数を適当に選んで計算を容易にするほうが便利なことが多い。この目的のために用いられる関数を近似式,あるいは近似関数という。したがって,近似手法やそれに伴う誤差の評価が問題になる。近似式として多項式がよく用いられているが,これは多項式の値が計算しやすいうえ,多項式の和,差,積や導関数や不定積分がまた多項式になる利点による。例えばexn次多項式で近似する場合,x=0におけるテーラー展開を利用してを近似式とすれば,誤差は,となり,xが0に近いときにはよい近似を与えるが,0から離れると近似も悪くなり,有効な方法といえない。

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大辞林 第三版の解説

きんじしき【近似式】

〘数〙 ある式が複雑であったり計算しにくい場合、計算が楽になり式の値ももとの式の値と十分近いものが得られるような式。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

近似式
きんじしき
approximation formula

(1)関数の計算を簡略化(高速化)するために使われる「代用の式」、(2)有限の時間内では厳密な関数計算ができない場合に使われる「真の関数値に近い値を算出する式」、(3)曲線や曲面の「概形を表す式」、の三つの意味がある。[戸川隼人]

原理

適用範囲(独立変数の変域)をいくつもの区域に分け、一つの式でカバーする範囲を狭くすれば、低い次数の多項式、有理式、連分数などで近似できる。具体的には、(1)補間多項式を使う、(2)最小二乗法を使う、(3)テーラー級数を使う、(4)パデ展開(有理関数近似、すなわち多項式の比で近似する方式の一種)を使う、(5)連分数展開を使う、などの方法がある。また、最良近似の理論を応用すれば、より高精度で計算効率の優れた近似式を得ることができる。
 たとえば、対数関数の近似式をつくるには、log(1+x)の無限級数展開

を適当な項数で打ち切って

とする方法がまず考えられるが、xの絶対値が小さくないと、これではよい近似値が得られない。適用範囲がもっと広い改良された公式、たとえば
 log(1+x)≒0.9974442x-0.4712839x2
 +0.2256685x3-0.0587527x4
を用いれば、0≦x≦1の範囲で誤差8×10-5以下の近似値を得ることができる。[戸川隼人]

最良近似

近似式は、できるだけ誤差が少なく、計算の手間が少なく、適用できる範囲が広いことが望ましい。そのような観点から「近似の良さの総合的な尺度」を設け、近似式の係数を調整して最良の近似式を求める方法が研究されている。
 古典的な手法としては最小二乗法がある。これは近似式の形と適用範囲を固定し、誤差の二乗和(誤差の二乗を適用範囲全域にわたって積分したもの)が最小になるように係数を決める手法である。
 しかし、関数を近似する、という目的のためには、適用範囲内における誤差の最大値を最小にすることのほうが望ましい。これを「ミニマクス近似」という。[戸川隼人]

標準的な関数の近似式

三角関数、逆三角関数、指数関数、対数関数、平方根、立方根、誤差関数、楕円(だえん)関数、ガンマ関数、ベッセル関数などに関しては優れた近似式が知られている。[戸川隼人]

近似式を利用する際の注意事項

近似式は、普通、関数の値を近似するものであって、関数の変化率までは近似していない。したがって、近似式を微分した式を導関数の近似式として利用することはできない。関数の値だけでなく導関数の値も近似したい場合には、それ専用の手法(スプライン近似)を用いる必要がある。[戸川隼人]
『藤野精一著『アルゴルとフォートランの応用』(1971・朝倉書店) ▽ヘースティングス著、竹内均訳『電子計算機のための近似計算法』(1973・東京図書) ▽一松信著『初等関数の数値計算』(1974・教育出版) ▽高橋磐郎・室谷義昭著『数値計算とその応用』(1979・コロナ社) ▽浜田穂積著『近似式のプログラミング』(1995・培風館)』

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