一次変換（読み）いちじへんかん

日本大百科全書(ニッポニカ)

一次変換
いちじへんかん

行列を与えたとき、それによって定まる空間から空間への写像のこと。A＝(a_ij)をm行n列の行列とする。n次元空間E_n内の点P(x₁，……，x_n)に対して

によって点P′(x₁′，……，x_m′)が定まる。点P′はm次元空間E_mの点である。m行n列の行列Aに対して、このようにして定まるE_nからE_m内への写像を、Aで定まる一次変換という。たとえば、

のとき、空間の点P(x₁，x₂，x₃)に対して（＊）を成分ごとに書くと次のようになる。

空間の点（x₁，x₂，x₃）に、この式によって、空間の点（x₁′，x₂′，x₃′）が定まる。

　一次変換は、直線を直線または点に、平面を平面か直線か点に写像する、という性質をもっている。またn次元ベクトル
　　x＝(x₁，……，x_n)
に対して、（＊）で定まるm次元ベクトル
　　x′＝(x₁，……，x_m)
を対応させる。この写像をn次元ベクトル空間V_nからm次元ベクトル空間V_mへの一次変換という。この写像fは、ベクトルの演算について次の性質をもつ。

　　f(k₁x₁＋k₂x₂)＝k₁f(x₁)＋k₂f(x₂)
これを一次変換fの線形性という。

［寺田文行］

[参照項目] | 行列 | 線形性

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)