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一次変換 イチジヘンカン

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デジタル大辞泉の解説

いちじ‐へんかん〔‐ヘンクワン〕【一次変換】

平面上の点から平面上の点への写像。点(x,y)と点(x′,y′)の関係が一般にx′=axby, y′=cxdyで表されるもの。

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世界大百科事典 第2版の解説

いちじへんかん【一次変換 linear transformation】

直線,平面,空間のように座標が定まっているものの間の写像で,座標について一次式で表されるものを一次変換という。例えば座標X,Y,Zが定まった空間の間の写像fで,点(x,y,z)をf(x,y,z)=(a1xb1yc1z,a2xb2yc2z,a3xb3yc3z)に移すものは一次変換である。この考えは,一般のn次元線形空間Vからm次元線形空間Wへの写像fに拡張される。x1,……,xnVの基底,y1,……,ymWの基底とする。

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大辞林 第三版の解説

いちじへんかん【一次変換】

〘数〙 線形空間 V から V への線形写像。線形変換。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

一次変換
いちじへんかん

行列を与えたとき、それによって定まる空間から空間への写像のこと。A=(aij)をm行n列の行列とする。n次元空間En内の点P(x1,……,xn)に対して

によって点P′(x1′,……,xm′)が定まる。点P′はm次元空間Emの点である。m行n列の行列Aに対して、このようにして定まるEnからEm内への写像を、Aで定まる一次変換という。たとえば、

のとき、空間の点P(x1,x2,x3)に対して(*)を成分ごとに書くと次のようになる。

空間の点(x1,x2,x3)に、この式によって、空間の点(x1′,x2′,x3′)が定まる。
 一次変換は、直線を直線または点に、平面を平面か直線か点に写像する、という性質をもっている。またn次元ベクトル
  x=(x1,……,xn)
に対して、(*)で定まるm次元ベクトル
  x′=(x1,……,xm)
を対応させる。この写像をn次元ベクトル空間Vnからm次元ベクトル空間Vmへの一次変換という。この写像fは、ベクトルの演算について次の性質をもつ。
  f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)+k2f(x2)
これを一次変換fの線形性という。[寺田文行]

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世界大百科事典内の一次変換の言及

【座標】より

…簡単な例として,は,原点をxy平面内で点(a,b)に平行移動し,さらにその点のまわりに角度αの回転を行った直交座標系(x′,y′,z′)によってもとの(x,y,z)を表す場合である。一般に旧座標系{xi}が新座標系{xi′}の一次式の場合,すなわち(1)が具体的に,で与えられるような座標変換は一次変換と呼ばれ,行列の記法を用いてxAx′+aで示すことができる。ここでA=(aij)はaijを要素とするnn列の行列,a=(ai)はn次の列ベクトル(n行1列行列)である。…

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