準同型（読み）じゅんどうけい（英語表記）homomorphism

改訂新版　世界大百科事典

準同型 (じゅんどうけい)
homomorphism

同じ種類の代数系から代数系への写像で，代数系の算法を保つものを準同型という。すなわち，代数系AからBへの写像fが準同型とは，Aの算法○にBの算法＊が対応しているとき，Aの各元x，yについてf（x○y）＝f（x）＊f（y）を満たすことである。例えば，群Gから群G′への準同型φとは，Gの各元x，yについてφ（x・y）＝φ（x）・φ（y）を満たす写像である。また，環Rから環R′への準同型ψとは，Rの各元a，bについて，ψ（a＋b）＝ψ（a）＋ψ（b），ψ（ab）＝ψ（a）・ψ（b）を満たす写像である。準同型の合成は準同型である。他方，準同型fが全単射で，逆写像f⁻¹もまた準同型であるとき，fを同型（写像）と呼ぶ。代数系Aの恒等写像1_aは同型である。とくに，上述のφによるGの像φ（G）はG′の部分群，G′の単位元e′の逆像φ⁻¹（e′）＝NはGの正規部分群になり，φは剰余群G/Nからφ（G）への同型を誘導する。同様に，ψも剰余環R/ψ ⁻¹（0）から部分環ψ（R）への同型を誘導する。
執筆者：西村 純一

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

世界大百科事典（旧版）内の準同型の言及

【環】より

…有理整数環Zのイデアルとして，3の倍数全体3Z＝｛……，－6，－3,0,3,6，……｝をとると，Zの3Zによる剰余環Z/3Zは，3個の元，，からなる整域(さらに，可換体)である。
［環の準同型］
　環Aから，環Bへの写像fが，　f(a＋b)＝f(a)＋f(b)　f(a･b)＝f(a)･f(b)　(a,b∈A)　を満たすとき，fを準同型という。準同型の合成は，また準同型である。…

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出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」