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Β関数 ベータかんすうbeta function

世界大百科事典 第2版の解説

ベータかんすう【Β関数 beta function】

x>0,y>0なるとき,定積分,は収束し,xyの関数となる。これをΒ関数という。これとΓ関数との間には,なる関係がある。nが正の整数ならば,Γ(n)=(n-1)!となることは,(2)の右辺で部分積分をn回行って示される。このことと(3)により,正の整数m,nに対して,が成立する。ここでnCkは二項係数である。x,yが複素数であってもRex>0,Rey>0(Rexxの実数部分)ならば,(1)式の右辺の積分が収束して,Β(x,y)が定義される。

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世界大百科事典内のΒ関数の言及

【Γ関数】より

…解析学で重要な特殊関数。1929年,L.オイラーは定積分に関連して,次の無限乗積を複素数zに対し導入した。これをA.M.ルジャンドルが,ガンマ関数と命名し,記号Γ(z)を用いた。上の式は,と一致するが,さらに書き直せば,次のワイヤーシュトラスの標準形に変形できる。ここに,は,オイラーの定数である。ワイヤーシュトラスの標準形からわかるように,Γ関数はz=0,-1,-2,……で1位の極をもち,その他では解析的になる。…

※「Β関数」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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