Γ関数(読み)ガンマかんすう(その他表記)gamma function

改訂新版 世界大百科事典 「Γ関数」の意味・わかりやすい解説

関数 (ガンマかんすう)
gamma function

解析学で重要な特殊関数。1929年,L.オイラー定積分に関連して,次の無限乗積を複素数zに対し導入した。

これをA.M.ルジャンドルが,ガンマ関数と命名し,記号Γz)を用いた。上の式は,

と一致するが,さらに書き直せば,次のワイヤーシュトラスの標準形に変形できる。

ここに,

は,オイラーの定数である。ワイヤーシュトラスの標準形からわかるように,Γ関数z=0,-1,-2,……で1位の極をもち,その他では解析的になる。Γ関数に対し次の方程式が成り立つ。

したがって,Γ(1)=1を用いると,正整数nに対しΓn+1)=n!。また,である。第2種のオイラー積分は,zの実部か正となる半平面で正則関数になるが,積分値はΓz)に等しい。第1種のオイラー積分,

ベータ関数と呼ばれ,Γ関数を用いて,と表される。xが大きな正の数のとき,Γx)の近似値を求めるのに,次の漸近展開スターリングの公式)は有用である。


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