ラプラス展開（読み）らぷらすてんかい（英語表記）Laplace's expansion

日本大百科全書(ニッポニカ)

ラプラス展開
らぷらすてんかい
Laplace's expansion

行列式を、より小さい行列式の計算で求める方法にラプラス展開がある。

　A=(a_ij)をn次正方行列とする。1≦i₁＜i₂＜……i_r≦nと1≦j₁＜j₂＜……j_r≦nに対し、

のようにr次の正方行列をつくる。これはAのn個の行のうちの第i₁、第i₂…第i_r行上と、n個の列のうちの第j₁、第j₂…第j_r列との上にあるa_ijをそのままの順序で取り出してつくったr次の正方行列である。このような

をAのr次の小行列といい、その行列式

をAのr次の小行列式という。たとえば

　いま、1、2…nから1≦i₁＜i₂＜…i_r＜nを取り去った残りをi′₁＜i′₂＜…＜i′_n-rとし、j₁＜j₂＜…＜j_rに対しても、同様のものをj′₁＜j′₂＜…＜j′_n-rとすると、Aの行列式|A|は次の式で与えられる。

ただし、ここで右辺の和は、i₁＜i₂＜…＜i_rを固定し（したがってi′₁…i′_n-rも固定され）、1≦j₁＜j₂＜…＜j_r≦nのようなあらゆる組についての総和である。この式をAの行列式の第i₁、第i₂…第i_r行によるラプラス展開という。

　以上の式でj₁＜j₂＜…＜j_rを固定し、Σを1≦i₁＜i₂＜…＜i_r≦nのようなあらゆる組についての和にした式も成り立ち、第j₁、第j₂…第j_r列によるラプラス展開という。たとえば

r=1のラプラス展開は、それぞれ第i₁行、第j₁列による行列式の展開式である。

［菅野恒雄］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ラプラス展開
ラプラスてんかい
Laplace's development

行列式は普通1つの行または1つの列に沿って展開される。すなわち行列式の値は，1つの行または列の各要素に，その余因数を掛けたものの和に等しい。これに対して P.ラプラスは，行列式の値を，小行列式とそれに対応する小行列式の積に，適当な符号をつけて加えたものとして与える公式を見出した。この公式をラプラス展開という。

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