順序(読み)じゅんじょ(英語表記)order

翻訳|order

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ある抽象的な集合 M において,1つの2項関係 ≦ が与えられ,M の任意の元 xyz に対し
(1) xx (反射律)
(2) xy かつ yz ならば,xz (推移律)
(3) xy かつ yx ならば,xy (反対称律)
が成り立つとき,この関係 ≦ を順序という。たとえば実数の集合において,各実数間の大小関係 ≦ は順序であり,またある集合の族の元 (集合) の間の包含関係⊂も順序である。反対称性をもたない関係を,特に擬順序 preorderということがある。集合 M に順序関係が与えられているとき,M の任意の2元 xy に対し,常に xyyx かのいずれかが成り立つ場合に,この順序は全順序と呼ばれる。部分集合における包含関係のように,必ずしも全順序にならないような順序は,全順序に対して区別するときは,半順序と呼ばれる。順序,半順序,あるいは全順序が定義されている集合を,すべて順序づけられた集合といい,それぞれ順序集合,半順序集合,あるいは全順序集合という。

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デジタル大辞泉の解説

ある基準に従った並び方。また、その位置。順番。「順序が狂う」「順序よく並ぶ」
物事を行う手順。段取り。「まず上司に相談するのが順序だ」「順序を踏む」

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

数学用語。集合Mの関係()が、次の三つの条件を満たすとき、関係()をMの順序という。

(1)aa(aM)
(2)Mの元abに対し
  ab かつ baab
(3)Mの元abcに対し
  ab かつ bcac
 順序が定義されている集合を順序集合という。自然数全体の集合N、整数全体の集合Z、実数全体の集合Rは、それぞれ、通常の大小関係(≦)で順序集合になる。自然数abに対し、abを割り切るときa|bと書くことにすると、この整除関係(|)は、Nの大小関係(≦)と異なる順序を与える。集合Mの順序
(4)Mの元abに対し
  ab かまたは ba
が成り立つとき、この順序を全順序という。NZRの大小関係(≦)は全順序であるが、Nの整除関係(|)は全順序でない。

 順序という考え方は、Rの大小関係(≦)を一般化したもので、Rの≦について、最大(最小)元、極大(極小)元、上限(下限)を考えたように、任意の順序集合に対して、同様の概念が定義できる。Mの順序が全順序で、Mの空でない任意の部分集合が最小元をもつとき、Mを整列集合という。大小関係(≦)で、Nは整列集合になるが、Zはならない。

 任意の集合は、適当な順序を定義して、整列集合になる(ツェルメロの整列定理)ことが知られている。また、順序集合Mの空でない任意の全順序部分集合がMの中に上限をもてば、Mは極大元をもつ(ツォルンの補題)。

[菅野恒雄]

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精選版 日本国語大辞典の解説

〘名〙
① 一定の規準による並び方。定められた規準によって並べられた前後、左右、上下などの関係。また、物事を行なう手順。仕事のだんどり。順。
※令義解(718)考課「其策文詞順序、義理慥当、并帖過者為通」
※東西南北(1896)〈与謝野鉄幹〉自序「前後の順序もなく、聯絡もなし」 〔易経‐恒疏〕
② 数学で、集合の二元間の関係の一つ。集合Aの二元間の関係rで、次の三条件をみたすものをAの上の順序という。ara arb かつ bra ならば a=b となり、また、arb かつ brc ならば arc となる。たとえば、数の大小関係、集合の包含関係など。順序関係。

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世界大百科事典内の順序の言及

【順序関係】より

…すなわち≽,または≧という関係を抽象的に⊵で表すことにすると, aa ……反射法則  ab,ba ⇒ aa ……反対称法則  ab,bc ⇒ ac ……推移法則 という3条件を満たす。このようなものを順序関係,または単に順序という。順序関係の与えられた集合を順序集合という。…

※「順序」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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