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順序 じゅんじょorder

翻訳|order

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

順序
じゅんじょ
order

ある抽象的な集合 M において,1つの2項関係 ≦ が与えられ,M の任意の元 xyz に対し
(1) xx (反射律)
(2) xy かつ yz ならば,xz (推移律)
(3) xy かつ yx ならば,xy (反対称律)
が成り立つとき,この関係 ≦ を順序という。たとえば実数の集合において,各実数間の大小関係 ≦ は順序であり,またある集合の族の元 (集合) の間の包含関係⊂も順序である。反対称性をもたない関係を,特に擬順序 preorderということがある。集合 M に順序関係が与えられているとき,M の任意の2元 xy に対し,常に xyyx かのいずれかが成り立つ場合に,この順序は全順序と呼ばれる。部分集合族における包含関係のように,必ずしも全順序にならないような順序は,全順序に対して区別するときは,半順序と呼ばれる。順序,半順序,あるいは全順序が定義されている集合を,すべて順序づけられた集合といい,それぞれ順序集合,半順序集合,あるいは全順序集合という。

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デジタル大辞泉の解説

じゅん‐じょ【順序】

ある基準に従った並び方。また、その位置。順番。「順序が狂う」「順序よく並ぶ」
物事を行う手順。段取り。「まず上司に相談するのが順序だ」「順序を踏む」

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大辞林 第三版の解説

じゅんじょ【順序】

何が先で、何があとに来るかという、物事の相互の関係。 「 -よく乗車する」 「 -を立てる」
物事を行う段取り。手順。 「 -をふむ」 → 順番(補説欄)

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

順序
じゅんじょ

数学用語。集合Mの関係()が、次の三つの条件を満たすとき、関係()をMの順序という。
(1)aa(aM)
(2)Mの元abに対し
  ab かつ baab
(3)Mの元abcに対し
  ab かつ bcac
 順序が定義されている集合を順序集合という。自然数全体の集合N、整数全体の集合Z、実数全体の集合Rは、それぞれ、通常の大小関係(≦)で順序集合になる。自然数abに対し、abを割り切るときa|bと書くことにすると、この整除関係(|)は、Nの大小関係(≦)と異なる順序を与える。集合Mの順序
(4)Mの元abに対し
  ab かまたは ba
が成り立つとき、この順序を全順序という。NZRの大小関係(≦)は全順序であるが、Nの整除関係(|)は全順序でない。
 順序という考え方は、Rの大小関係(≦)を一般化したもので、Rの≦について、最大(最小)元、極大(極小)元、上限(下限)を考えたように、任意の順序集合に対して、同様の概念が定義できる。Mの順序が全順序で、Mの空でない任意の部分集合が最小元をもつとき、Mを整列集合という。大小関係(≦)で、Nは整列集合になるが、Zはならない。
 任意の集合は、適当な順序を定義して、整列集合になる(ツェルメロの整列定理)ことが知られている。また、順序集合Mの空でない任意の全順序部分集合がMの中に上限をもてば、Mは極大元をもつ(ツォルンの補題)。[菅野恒雄]

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世界大百科事典内の順序の言及

【順序関係】より

…すなわち≽,または≧という関係を抽象的に⊵で表すことにすると, aa ……反射法則  ab,ba ⇒ aa ……反対称法則  ab,bc ⇒ ac ……推移法則 という3条件を満たす。このようなものを順序関係,または単に順序という。順序関係の与えられた集合を順序集合という。…

※「順序」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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