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コーシーの条件(読み)コーシーのじょうけん(英語表記)Cauchy's condition

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

コーシーの条件
コーシーのじょうけん
Cauchy's condition

無限数列 {an} が有限の極限値をもつ (収束する) ための必要十分な条件は, すなわち,任意の正の数 ε に対して,自然数 n0 を適当に定め,mn0nn0 なる任意の mn について,必ず |aman|<ε となるようにできることである。これを数列の収束に関するコーシーの条件という。またこの条件を満足する数列 {an} をコーシー列 (基本列ともいう) という。これは,an がある極限 a に近いというのではなく,an 相互間の距離が近くなるということであって,{an} の内部で条件づけられている点に特徴がある。したがってまた,無限級数 Σan が収束するための必要十分条件は,任意の正の数 ε に対して,自然数 n0 を適当に定めれば,mnn0 について,必ず |anan-1+…+am|<ε が成り立つようにできることである。これを級数の収束に関するコーシーの条件という。

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