級数（読み）きゅうすう（英語表記）series

精選版 日本国語大辞典

きゅう‐すう キフ‥【級数】

〘名〙

① 数列の項を加法記号で順次に結合して得られる式。数列の項が有限のとき有限級数、無限のとき無限級数という。以前は、数列の意味にも用いた。〔工学字彙（1886）〕

② 「むげんきゅうすう（無限級数）」の略。

③ 階段の段数。

※東京風俗志（1899‐1902）〈平出鏗二郎〉上「女坂は一百七級ありて、級数多かれども、一級毎に広狭を交々にし」

④ 写真植字の文字の大きさを表わす単位「級」の度合。〔実用印刷技術（1957）〕

出典　精選版 日本国語大辞典

デジタル大辞泉

きゅう‐すう〔キフ‐〕【級数】

１ 数学で、数列の各項を順に加法記号（＋）で結んだもの。例えば、数列［a_n］で、a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＋…をいう。項が有限個であれば有限級数、無限個であれば無限級数という。
２ 写真植字の文字の大きさを級で表す数。最小7級から最大100級まで24種あり、1級は4分の1ミリ、13級がほぼ9ポイントにあたる。

出典　小学館

日本大百科全書(ニッポニカ)

級数
きゅうすう
series

数列a₁, a₂,……, a_n,……があるとき、これをプラスで結んだa₁＋a₂＋……を級数という。これを記号で

と表す。これは、数列a₁, a₂,……を順に足していくとどうなるか、ということが問題とされるということである。いま、
　　s_n＝a₁＋a₂＋……＋a_n
として、これを級数a₁＋a₂＋……の部分和という。この部分和のつくる数列s₁, s₂,……がある値sに収束するとき、級数a₁＋a₂＋……は収束して、その和はsであるといい、これを

で表す。そうでないときは、級数は発散するという。とくにs_nが正の無限大に発散するとき、級数は正の無限大に発散するという。級数の各項が正の数（非負の数）であるとき、この級数を正項級数という。また、級数の各項の絶対値をとってつくった級数が収束するとき、この級数は絶対収束であるという。ディリクレおよびリーマンは、級数が収束ではあるが絶対収束ではないときは、項の順序を適当に変更すれば、任意の値に収束させたり、あるいは発散させたりできることを示した。

　級数についての次の二つの性質は、解析学のバックボーンとなる重要な定理である。

〔1〕正項級数は、収束するか、または正の無限大に発散する。そしてその状態、あるいは収束したときの和は、級数の項の順序を入れ替えたり、あるいは項をくくり直したりしても影響がない。

〔2〕絶対収束級数は収束する。そして、その和は、級数の順序を入れ替えたり、あるいは項をくくり直したりしても影響がない。

　いろいろな級数が古くから考察され、その和を求める方法もいろいろくふうされた。いろいろな値を求めるとき、級数を利用することが多い。しかし、特別な場合を除いて、部分和の表示をつくり、それがどうなっていくかを見定めることは困難である。そこで、級数が収束するか発散するかを判定する方法がいろいろ考案された。次はその一つである。二つの正項級数

があって、その項の間に、a_n≦b_n (n＝1, 2,……)という関係が成り立っているとする。このとき、(2)が収束するならば(1)も収束する。また、(1)が発散するならば(2)も発散する。

　級数の項の符号が交互にプラス、マイナスを繰り返すとき、交項級数または交代級数という。交項級数に関する次の定理は、実用的な意味をもっている。

が交項級数で、|a₁|≧|a₂|≧……、かつ

ならば、この級数は収束する。そして、その和をsとするとき、部分和s_nについて、
　　|s_n－s|≦|a_n+1|
が成り立つ。

　級数の積をつくったりする必要もおこる。

というような計算ができるとよいが、たとえば

がともに収束で、とくにその一方が絶対収束ならば、このことは成り立つ。

　級数が発散するときも、これに適当な方法である値を付与し、これを利用することを考えることがある。たとえば、チェザロの総和法は

とする。アーベルの総和法は、

として、

を求める。これによれば、発散する級数
　　1－1＋1－1＋……
には、どちらの方法によっても、1/2という値が付与される。

［竹之内脩］

[参照項目] | 一様収束 | 整級数 | フーリエ級数

いろいろな級数

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

級数
きゅうすう
series

数列 a₁，a₂，…，a_n，… の項を順に和の記号 ＋ で結んで得られる式 a₁＋a₂＋…＋a_n＋… をいう。 a₁，a₂，…，a_n，… を級数の項，a_n をその第 n 項という。項の数が無限個あるときは無限級数といい，有限個の場合は有限級数と呼ぶ。無限級数は直和記号 Σ を用いて次のように表わす。
有限級数は， で表わす。有限級数において， とするとき，この A_n を級数の和という。無限級数 に対しては A₁＝a₁，A_n＝A_n-1＋a_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n-1＋a_n(n≧2) によって定義される A_n を第 n 項までの部分和という。数列 {A_n} は極限値をもつこともあり，もたないこともあるが，もし {A_n} が収束して， が存在すれば，この A を級数の和と呼ぶ。ただし，A は有限でも無限でもよい。この和が有限のとき，無限級数 は収束するといい，収束しない場合を発散するという。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

百科事典マイペディア

級数【きゅうすう】

一定の規則に従って並んだ数または関数（数列または関数列）の各項を和の記号で結んだもの。一般の形はa₁＋a₂＋…＋a(/n)＋…。項の数が有限なら有限級数，無限なら無限級数という（収束，発散）。等差級数，等比級数，べき級数，フーリエ級数等種々ある。
→関連項目調和級数

出典　株式会社平凡社

世界大百科事典 第２版

きゅうすう【級数 series】

ある規則に従って順次に並べられた数または関数の列を，それぞれ数列または関数列といい，それらの列を順次に加法記号で結合した式を級数という。例えば｛1,3,5,7，……｝，｛1,2,4,8，……｝は数列であり，これらに対応する級数は，それぞれ1＋3＋5＋7＋……，1＋2＋4＋8＋……である。数列，関数列または級数を構成する各要素を，その数列，関数列または級数の項という。上の第1の例のように各項とその次の項との差が一定である級数を等差級数arithmetic seriesまたは算術級数といい，第2の例のように各項とその次の項との比が一定である級数を等比級数geometric seriesまたは幾何級数という。

出典　株式会社平凡社

ASCII.jpデジタル用語辞典

級数

文字の大きさを表す単位のひとつ。日本の組版や写植で使われる用語。ページレイアウトソフトでも文字サイズの単位として設定できる。1級は0.25ミリ。「13Q」のように、「Q」を使って表記することもある。

出典　ASCII.jpデジタル用語辞典

普及版 字通

【級数】きゆうすう

階級の上下の数。

字通「級」の項目を見る。

出典　平凡社「普及版 字通」